根軸の性質と根心の存在定理

方べきの値が直線 $l$ の選び方によらず，円 $O$ と点 $A$ だけで決まるのがポイントです（なぜなら，方べきの定理より $AX\cdot AY=AX'\cdot AY'$ だからです）。

よって，直線 $l$ が円 $O$ の中心を通る場合を考えれば方べきの値は計算できます：

$P(O,A)=(OA-r)(OA+r)=OA^2-r^2\cdots (1)$

ただし，円の半径を $r$ とおきました。

ちなみに $A$ が $O$ の内部にあるときは $P(O,A)=-AX\cdot AY$ と定義します（定義にマイナスをつけることで方べきの値が(1)と一致して嬉しい）。

「2つの円に対する方べきの値が等しい点の集合が根軸である」という主張です。

逆の証明は少し難しいです。

「軌跡は一本の直線」＋「根軸上の点は条件を満たしている」→「根軸以外の点はありえない」というロジックです。

なお，二つの円が二点で交わらない場合も，根軸を「方べきの値が等しい点の集合」として定義できます。

いよいよ根心の存在定理の証明です！ 外心の存在や内心の存在を示したときと同じ感じです。

円 $O_1,O_2$ の根軸を $l_{12}$，円 $O_2,O_3$ の根軸を $l_{23}$，円 $O_3,O_1$ の根軸を $l_{31}$ とおきます。

$l_{12}$ と $l_{23}$ の交点 $A$ が $l_{31}$ 上にあることを示せばよいです。