ウィルソンの定理とその２通りの証明

$p=2$ のときは成立。以下 $p\geq 3$ の場合について考える。

$m,2m,3m\cdots,(p-1)m$ を $p$ で割った余りはすべて異なるので，

$mn\equiv 1$ となる $n$ が $1$ から $p-1$ の間にただ1つ存在する（注1）。

そのような $n$ が，$m$ と等しい場合は困るのでそのような良くない場合を探す：

$m^2\equiv 1$

つまり，$(m-1)(m+1)\equiv 0$

合同式の性質より $m-1\equiv 0$ または $m+1\equiv 0$

よって，$m\neq 1,p-1$ のときは $m\neq n$ となる。

よって，$2,3,\cdots p-2$ の中でそのような $m$ と $n$ のペアを $\dfrac{p-3}{2}$ 個作ることにより，

$(p-1)!\equiv 1^{\frac{p-3}{2}}\cdot 1\cdot (p-1)$

が分かりウィルソンの定理が示された。

$f(x)=x^{p-1}-1$

という関数を考える。

フェルマーの小定理より，$x=1,2,\cdots,p-1$ に対して，

$f(x)\equiv 0$

である。

$f(x)$ を $(x-1)$ で割った商を $Q_1(x)$，余りを $R_1$ とおくと

$f(x)=Q_1(x)(x-1)+R_1$

$x=1$ を代入すると，$f(1)\equiv 0$ より $R_1\equiv 0$

つまり $f(x)\equiv Q_1(x)(x-1)$

さらに，$Q_1(x)$ を $(x-2)$ で割った商を $Q_2(x)$，余りを $R_2$ とおくと

$f(x)\equiv \{Q_2(x)(x-2)+R_2\}(x-1)$

$x=2$ を代入すると，$f(2)\equiv 0$ より $R_2\equiv 0$

以下同様にして，

$f(x)\equiv Q_{p-1}(x)(x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)$

となる。ここで，割り算の等式を見ながら，

• $Q_1(x)$ は $(p-2)$ 次で最高次の係数は $1$
• $Q_2(x)$ は $(p-3)$ 次で最高次の係数は $1$

と順々に考えていくと $Q_{p-1}(x)$ は $0$ 次で最高次の係数は $1$，つまり $Q_{p-1}(x)=1$ である。

以上より，

$f(x)\equiv (x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)$

この式の $x$ に $0$ を代入すると，

$(-1)^{p-1}(p-1)!\equiv -1$

$p=2$ のときは自明に成立し，それ以外のとき $p$ は奇数なのでウィルソンの定理を得る。