Karamataの不等式

対称式なので $a\geq b\geq c$ の場合を証明すればよい。

• 簡単な計算により，
  $(a+b-c,c+a-b,b+c-a)\succeq (a,b,c)$

• $f(x)=-\sqrt{x}$ とおくと $f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{x}}$ が増加関数なので $f(x)$ は凸関数。

以上からKaramataの不等式が使える。

$$-\sqrt{a+b-c}-\sqrt{b+c-a}-\sqrt{c+a-b} \geq -\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{c}$$

両辺を $-1$ 倍して目標の式を得る。

$f(x)$ は凸関数なので，傾き $c_k=\dfrac{f(b_k)-f(a_k)}{b_k-a_k}$ は減少数列となる（$b_k=a_k$ の場合は微分係数 $f'(a_k)$ を $c_k$ とおく）。

すると，アーベルの総和公式が使えて，

$$\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n(f(a_k)-f(b_k))\\ &=\sum_{k=1}^nc_k(a_k-b_k)\\ &=c_n(A_n-B_n)+ \sum_{k=1}^{n-1} (c_k-c_{k+1}) (A_k-B_k)\geq 0 \end{aligned}$$

ただし，$A,B$ は数列 $a,b$ の部分和を表し，$[a]\succeq [b]$ より $A_k-B_k\geq 0$ であることを用いた。