ルートの和とシュワルツの不等式

シュワルツの不等式より，

$(ac+bd)^2\leqq(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

ここで $c^2=x,d^2=y$ とおいて両辺の平方根を取ると $$a\sqrt{x}+b\sqrt{y}\leqq\sqrt{(a^2+b^2)(x+y)}$$ である。

公式において $x→2x$ とおくと，

$$a\sqrt{2x}+b\sqrt{y}\leqq\sqrt{(a^2+b^2)(2x+y)}$$ である。

さらに左辺の $x$ の係数と $y$ の係数をそろえるために $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}},b=1$ とおくと，

$$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leqq\sqrt{\dfrac{3}{2} (2x+y)}$$

よって，$k\geqq\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ ならOKである。

また，$x=1,y=4$ とすれば等号が成立する（注）ので $k$ が $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ より小さいときは条件を満たさない。

よって求める $k$ の値は $\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ である。

Ravi変換を用いると，$x,y,z > 0$ に対して以下の不等式を証明すればよいことが分かる。

$$\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z} \leqq \sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}$$

上記公式により，

$$\sqrt{2x}+\sqrt{2y}\leqq 2\sqrt{x+y}$$ であり，これと同様な式をもう2つこしらえて足し合わせると目標の不等式を得る。

$y=\sqrt{x}$ は上に凸な関数なのでイェンゼンの不等式より，

$$\dfrac{a\sqrt{x}}{a+b}+\dfrac{b\sqrt{y}}{a+b}\leqq\sqrt{\dfrac{ax+by}{a+b}}$$

両辺 $a+b$ 倍して $ax=X,by=Y$ とおくと，

$$\sqrt{aX}+\sqrt{bY}\leqq\sqrt{(a+b)(X+Y)}$$

ここで $a=A^2,b=B^2$ とおくと目標の式を得る。