コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明

まずは，$n=2$ の場合のシュワルツの不等式： $$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \geqq (a_1b_1+a_2b_2)^2$$ を証明します。

等号成立条件については，後でもう少し詳しく述べます。

また，$n=3$ の場合のシュワルツの不等式： $$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2) \geqq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2$$ も同様に両辺の差を「二乗の和」の形に変形することで証明できます。$n=2$ の場合より少し難しいですが，練習問題にどうぞ。

上記では，両辺の差が $0$ 以上になることを直接示すことで，$n=2$ の場合のシュワルツの不等式を証明しました。

次は，一般の $n$ に対するシュワルツの不等式： $$\left(\sum_{i=1}^n a_{i}^2 \right) \left(\sum_{i=1}^n b_{i}^2 \right) \geqq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2$$ を証明します。ここでは2次方程式の判別式を用いたエレガントな証明を紹介します。

表記簡略化のためシグマの上下の添字を省略しますが，和は $1$ から $n$ までとっています。

ちなみに，ラグランジュの恒等式を用いたシュワルツの不等式の証明もエレガントです。 →ラグランジュの恒等式とその仲間

上記の判別式による証明をもとに，シュワルツの不等式の等号成立条件を考えます。

等号が成立するのは，判別式 $D$ が0となるとき，すなわち2次方程式 $\sum(a_ix-b_i)^2=0$

が解を持つときです。これは $a_ix-b_i=0\:(i=1, 2, \cdots n)$ と同値です。つまり， シュワルツの不等式： $$\left(\sum_{i=1}^n a_{i}^2 \right) \left(\sum_{i=1}^n b_{i}^2 \right) \geqq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2$$ の等号成立条件は，すべての $i=1,2,\cdots,n$ に対して $a_ix=b_i$ となる $x$ が存在することと言えます。これは，各 $a_i\neq 0$ の場合には $\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{b_2}{a_2}=\dots =\dfrac{b_n}{a_n}$ と表すこともできます。

シュワルツの不等式は，幾何学的な意味を考えるとより深く理解できます。

イメージが湧きやすいように $n=3$ の場合を考えます。

$\overrightarrow{\vphantom{b}a}=(a_1,a_2,a_3), \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ と定めると，シュワルツの不等式はベクトルの長さと内積を用いて以下のように書けます。

$$|\overrightarrow{\vphantom{b}a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\geq(\overrightarrow{\vphantom{b}a}\cdot\overrightarrow{b})^2$$

上記の不等式が成立するのは，内積の定義 $(\overrightarrow{\vphantom{b}a}\cdot\overrightarrow{b})=|\overrightarrow{\vphantom{b}a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$ より明らかでしょう。

（ここで，ベクトル $\overrightarrow{\vphantom{b}a},\overrightarrow{b}$ のなす角を $\theta$ とおきました。どちらかが0ベクトルの場合はなす角が定義できませんが，その場合はシュワルツの不等式の両辺は0となり成立します）

また，等号成立条件は $\cos\theta=\pm 1$，すなわちふたつのベクトルが平行な場合です。

• コーシーの不等式，コーシーシュワルツの不等式ともいいます。

• シュワルツの不等式は相加相乗平均の不等式の次に有名な不等式だと思います。

• いろいろな応用があります。具体的な応用例は以下を参考にしてください。
  →ルートの和とシュワルツの不等式
  →シュワルツの不等式の応用公式

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