コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明

よく使う形は $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)\geqq(ax+by)^2$$ です。左辺は「二乗の和どうしの積」，右辺は「積の和の二乗」です。たとえば $3x+4y$ を評価するなら，$3^2+4^2$ と $x^2+y^2$ を組み合わせて $$(3x+4y)^2\leqq(3^2+4^2)(x^2+y^2)=25(x^2+y^2)$$ とできます。どの数を $a_i$，どの数を $b_i$ に置くかが使い方のポイントです。

$$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \geqq (a_1b_1+a_2b_2)^2$$ を証明します。左辺から右辺を引いて，二乗に変形します。

公式を忘れたときも，「左辺－右辺」が平方になることから復元できます。

$n=3$ でも，左辺から右辺を引くと平方の和になります。

この関係の一般形はラグランジュの恒等式です。 →ラグランジュの恒等式とその仲間

一般の $n$ に対しては，$x$ の式 $\sum(a_ix-b_i)^2$ を考えます。以下，$\sum$ は $i=1$ から $n$ までの和を表します。

$a_i$ がすべて $0$ なら，$b_i$ の値によらず等号が成立します。$a_i$ がすべて $0$ ではない場合，上の証明で等号が成立するのは $D=0$，つまりある実数 $x$ について $$\sum(a_ix-b_i)^2=0$$ となるときです。平方の和が $0$ になるには，各項が $0$ である必要があります。したがって $$a_ix=b_i\:(i=1,2,\dots,n)$$ となる実数 $x$ が存在するときに等号が成立します。

まとめると，$(a_1,\dots,a_n)$ と $(b_1,\dots,b_n)$ の一方がすべて $0$，または一方が他方の実数倍であることが等号成立条件です。両方とも $0$ でない場合は「比例する」と覚えておけば十分です。各 $a_i\neq0$ なら， $$\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{b_2}{a_2}=\dots=\dfrac{b_n}{a_n}$$ とも書けます。ただし，$a_i=0$ を含む場合にこの比の式は使えません。

例題1：一次式の最大値

$x^2+y^2=1$ のとき，$3x+4y$ の最大値を求めます。

$$(3x+4y)^2\leqq(3^2+4^2)(x^2+y^2)=25$$ より，$3x+4y\leqq5$ です。等号は $(x,y)=(\frac35,\frac45)$ のときに成立します。したがって最大値は $5$ です。

例題2：逆数の和の最小値

正の実数 $x,y$ が $x+y=1$ を満たすとき，$\dfrac1x+\dfrac1y$ の最小値を求めます。

$a_1=\sqrt{x},\ a_2=\sqrt{y},\ b_1=\dfrac1{\sqrt{x}},\ b_2=\dfrac1{\sqrt{y}}$ とおくと， $$(x+y)\left(\dfrac1x+\dfrac1y\right)\geqq(1+1)^2=4$$ です。$x+y=1$ より $\dfrac1x+\dfrac1y\geqq4$。等号は $x=y=\dfrac12$ のときに成立するので，最小値は $4$ です。

→ルートの和とシュワルツの不等式 →シュワルツの不等式の応用公式

$n=3$ とし，$\overrightarrow{\vphantom{b}a}=(a_1,a_2,a_3),\ \overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ とおくと，不等式は $$|\overrightarrow{\vphantom{b}a}|^2|\overrightarrow{b}|^2\geqq(\overrightarrow{\vphantom{b}a}\cdot\overrightarrow{b})^2$$ と書けます。両方が0ベクトルでなければ，なす角を $\theta$ として $$\overrightarrow{\vphantom{b}a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{\vphantom{b}a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta$$ です。$\cos^2\theta\leqq1$ から不等式が従います。等号が成立するのは $\cos\theta=\pm1$，つまり2つのベクトルが平行なときです。どちらかが0ベクトルの場合も等号が成立します。

コーシーの不等式とシュワルツの不等式は違いますか？

この記事で扱った式は，コーシーの不等式，シュワルツの不等式，コーシーシュワルツの不等式という名前で呼ばれます。まずは式の形と等号成立条件を押さえましょう。

いつ使えばよいですか？

「二乗の和」と「積の和」が一緒に現れるとき，あるいは条件に $x^2+y^2$ があり $ax+by$ を評価したいときが目安です。分数の和では，例題2のように平方根を組み合わせる方法もあります。

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