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対称性を用いた定積分の難しい問題の解法

更新日時 2021/03/07

A=BA=B のとき,A=A+B2A=\dfrac{A+B}{2}

という自明な等式を用いて定積分を計算できる場合がある

このタイプの定積分の計算は入試でたまに出題されます。(たいてい誘導がついています)

目次
  • 具体例:三角関数の定積分

  • 具体例:指数関数の定積分

  • Putnam Competitionの問題に挑戦

具体例:三角関数の定積分

sinのn乗,cosのn乗の積分公式で紹介したように,sin\sin の積分と cos\cos の積分には対称性があります。

この事実を利用した,「不定積分を求めるのは難しいけど定積分なら求まる」ようなエレガントな例を紹介します。

問題1

I=0π2sinxdxsinx+cosxI=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin xdx}{\sin x+\cos x} を求めよ。

解答

対称性より,I=0π2cosxdxsinx+cosxI=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos xdx}{\sin x+\cos x} となる。(厳密には y=π2xy=\dfrac{\pi}{2}-x と置換すればよい)

よって,

I=12(I+I)=12(0π2sinxdxsinx+cosx+0π2cosxdxsinx+cosx)=120π21dx=π4I=\dfrac{1}{2}(I+I)\\ =\dfrac{1}{2}(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin xdx}{\sin x+\cos x}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos xdx}{\sin x+\cos x})\\ =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}1dx\\ =\dfrac{\pi}{4}

ちなみに,がんばれば不定積分を求めることもできます。→三角関数の有理式の積分

具体例:指数関数の定積分

問題2

I=11dx1+e2xI=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{dx}{1+e^{-2x}} を求めよ。

解答

分母分子に exe^x をかけると問題1のような形になる:

I=11exex+exdxI=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx

また,対称性より I=11exex+exdxI=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx

(厳密には y=xy=-x と置換する)

よって,

I=12(I+I)=12111dx=1I=\dfrac{1}{2}(I+I)\\ =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^11dx\\ =1

Putnam Competitionの問題に挑戦

このテクニックは積分だけでなくシグマ計算にも使えます。

次の問題はPutnam Competition(PC,パトナム競争)と呼ばれる数学コンテストの過去問です。

問題3(PC 1994 A-4)

I=m=1n=1m2n3m(n3m+m3n)I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{m^2n}{3^m(n3^m+m3^n)} を求めよ。

証明

与式を眺めると,分母分子を m2nm^2n で割ることで綺麗な形になることが分かります: I=m=1n=113mm(3mm+3nn)=m=1n=11am(am+an)I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\frac{3^m}{m}(\frac{3^m}{m}+\frac{3^n}{n})}\\ =\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_m(a_m+a_n)} ただし,an=3nna_n=\dfrac{3^n}{n} とおいた。

よって,対称性と上記のテクニックを用いると,

2I=m=1n=1{1am(am+an)+1an(am+an)}=m=1n=1am+anaman(am+an)=m=1n=11aman=(n=1n3n)22I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\dfrac{1}{a_m(a_m+a_n)}+\dfrac{1}{a_n(a_m+a_n)}\right\}\\ =\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_m+a_n}{a_ma_n(a_m+a_n)}\\ =\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_ma_n}\\ =(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n})^2

ただし,最後の変形では2つのシグマの分解公式を用いた。

→シグマ計算を機械的に行うための3つの公式の最後の方)

ここで,等比×等差数列の和を求めると,

n=1n3n=34\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{3}{4} となる。

→等比×等差の和を求める2通りの方法

以上から,I=932I=\dfrac{9}{32}

PCはアメリカとカナダの大学生のための数学コンテストです

Tag:各地の数オリの過去問

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