対称性を用いた定積分の計算（King Property）

King Property より，$I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos xdx}{\sin x+\cos x}$ となる（$y=\dfrac{\pi}{2}-x$ と置換すれば直接確認できる）。

よって，

$$\begin{aligned} I &= \dfrac{1}{2} (I+I)\\ &= \dfrac{1}{2}\left(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin xdx}{\sin x+\cos x}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos xdx}{\sin x+\cos x}\right)\\ &= \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}1dx\\ &= \dfrac{\pi}{4} \end{aligned}$$

分母分子に $e^x$ をかけると問題1のような形になる：

$I=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx$

また，King Property より $I=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx$

（$y=-x$ と置換すると直接確認できる）

よって，

$$\begin{aligned} I&=\dfrac{1}{2} (I+I)\\ &=\dfrac{1}{2} \int_{-1}^11dx\\ &=1 \end{aligned}$$

$y=\dfrac{\pi}{4}-x$ と置換すると，

$$\begin{aligned} I&=\displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^0\log\left\{1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right\}(-1)dx\\ &=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\left(1+\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}\right)dx\\ &=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\dfrac{2}{1+\tan x}dx\\ &=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\{\log 2-\log(1+\tan x)\}dx\\ &=\dfrac{\pi}{4}\log 2-I \end{aligned}$$

よって，$I=\dfrac{\pi}{8}\log 2$

$y=3-x$ と置換すると，

$I=\displaystyle\int_2^1\dfrac{(3-y)^2}{(3-y)^2+y^2}(-dy)$

よって，$I+I=\displaystyle\int_1^2 1dx=1$

$I=\dfrac{1}{2}$

与式を眺めると，分母分子を $m^2n$ で割ることで綺麗な形になることが分かる：

$$\begin{aligned} I &= \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\dfrac{3^m}{m} \left( \dfrac{3^m}{m}+\dfrac{3^n}{n} \right)}\\ &= \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_m(a_m+a_n)} \end{aligned}$$

ただし，$a_n=\dfrac{3^n}{n}$ とおいた。

よって，対称性と上記のテクニックを用いると，

$$\begin{aligned} 2I &= \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\dfrac{1}{a_m(a_m+a_n)}+\dfrac{1}{a_n(a_m+a_n)}\right\}\\ &= \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_m+a_n}{a_ma_n(a_m+a_n)}\\ &= \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_ma_n}\\ &= \left( \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n} \right)^2 \end{aligned}$$

ただし，最後の変形では2つのシグマの分解公式を用いた。

（→シグマ計算を機械的に行うための3つの公式の最後の方）

ここで，等比×等差数列の和を求めると，

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{3}{4}$ となる。

（→等差×等比，2乗×等比の和を求める２通りの方法）

以上から，$I=\dfrac{9}{32}$