対称性を用いた定積分の難しい問題の解法

対称性より，$I=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos xdx}{\sin x+\cos x}$ となる。（厳密には $y=\dfrac{\pi}{2}-x$ と置換すればよい）

よって，

$I=\dfrac{1}{2}(I+I)\\ =\dfrac{1}{2}(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin xdx}{\sin x+\cos x}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos xdx}{\sin x+\cos x})\\ =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}1dx\\ =\dfrac{\pi}{4}$

分母分子に $e^x$ をかけると問題1のような形になる：

$I=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^x}{e^x+e^{-x}}dx$

また，対称性より $I=\displaystyle\int_{-1}^1\dfrac{e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx$

（厳密には $y=-x$ と置換する）

よって，

$I=\dfrac{1}{2}(I+I)\\ =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^11dx\\ =1$

与式を眺めると，分母分子を $m^2n$ で割ることで綺麗な形になることが分かります： $I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\frac{3^m}{m}(\frac{3^m}{m}+\frac{3^n}{n})}\\ =\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_m(a_m+a_n)}$ ただし，$a_n=\dfrac{3^n}{n}$ とおいた。

よって，対称性と上記のテクニックを用いると，

$2I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\left\{\dfrac{1}{a_m(a_m+a_n)}+\dfrac{1}{a_n(a_m+a_n)}\right\}\\ =\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_m+a_n}{a_ma_n(a_m+a_n)}\\ =\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{a_ma_n}\\ =(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n})^2$

ただし，最後の変形では2つのシグマの分解公式を用いた。

（→シグマ計算を機械的に行うための3つの公式の最後の方）

ここで，等比×等差数列の和を求めると，

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{3^n}=\dfrac{3}{4}$ となる。

（→等比×等差の和を求める2通りの方法）

以上から，$I=\dfrac{9}{32}$