対称性を用いた定積分の計算(King Property)
入試でもたまに題材になる定積分のおもしろい性質です。King Property の導出と応用例を紹介します。
King Property の導出
具体例:三角関数の定積分
具体例:指数関数の定積分
Putnam Competitionの問題に挑戦
King Property の導出
名前はかっこいいですが,ただの置換積分です。
と置換すると,
King Property は以下のテクニックと一緒に使われることが多いです。
のとき,
つまり,King Property と「テクニック」より となります。
具体例:三角関数の定積分
King Property の例として,
が成立します。sinのn乗,cosのn乗の積分公式でも紹介した式です。
この式を利用した,「不定積分を求めるのは難しいけど定積分なら求まる」ようなおもしろい例を紹介します。
を求めよ。
King Property より, となる( と置換すれば直接確認できる)。
よって,
ちなみに,この例では頑張れば不定積分を求めることもできます。→三角関数の有理式の積分
具体例:指数関数の定積分
を求めよ。
分母分子に をかけると問題1のような形になる:
また,King Property より
( と置換すると直接確認できる)
よって,
Putnam Competitionの問題に挑戦
このテクニックは積分だけでなくシグマ計算にも使えます。
次の問題はPutnam Competition(PC,パトナム競争)と呼ばれる数学コンテストの過去問です。
を求めよ。
与式を眺めると,分母分子を で割ることで綺麗な形になることが分かる:
ただし, とおいた。
よって,対称性と上記のテクニックを用いると,
ただし,最後の変形では2つのシグマの分解公式を用いた。
(→シグマ計算を機械的に行うための3つの公式の最後の方)
ここで,等比×等差数列の和を求めると,
となる。
以上から,
PCはアメリカとカナダの大学生のための数学コンテストです。
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