数学オリンピック突破のための有名不等式まとめ

${\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i\geq n\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}}$

${\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_i^2)}{\displaystyle(\sum_{i=1}^n b_i^2)}\geq{\displaystyle(\sum_{i=1}^n a_ib_i)^2}$

$f(x)$ が凸関数のとき，

任意の $\lambda_i\geq 0, x_i (i=1,\cdots,n), \displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ に対して，

${\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i)}\geq f({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_ix_i})$

$[a]\succeq [b]$ ならば

$\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{a_i}\geq\displaystyle\sum_{sym}\prod_{i=1}^nx_i^{b_i}$

$r>0, x, y, z\geq0$ に対して，

$x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-z)(y-x)+z^r(z-x)(z-y)\geq 0$

$x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n\\y_1\geq y_2\geq\cdots \geq y_n$ ，

$1, 2, \cdots, n$ の並べ替え $\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n)$ に対して，

$\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iy_i\geq\sum_{i=1}^nx_iy_{\sigma(i)}\geq\sum_{i=1}^nx_iy_{n-i+1}$

$x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n\\y_1\geq y_2\geq\cdots \geq y_n$ ，

に対して，

$\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iy_i\geq(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i)(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i)\geq\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_{n+1-i}$

$a,b,c > 0$ のとき，

$\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\geq \dfrac{3}{2}$