イェンゼンの不等式の３通りの証明

$n=2$ のイェンゼンの不等式は性質1そのものである。

$n=k$ のときイェンゼンの不等式が成立すると仮定して，$n=k+1$ のときを示す。$n=k+1$ の場合のイェンゼンの不等式の左辺を変形していく。

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i f(x_i) &= \sum_{i=1}^{k}\lambda_i f(x_i) + \lambda_{k+1}f(x_{k+1})\\ &=A \sum_{i=1}^{k}\dfrac{\lambda_i}{A}f(x_i) +\lambda_{k+1}f(x_{k+1}) \end{aligned}$$

ただし，$A=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\lambda_i$ とおいた。ここで， $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\dfrac{\lambda_i}{A}=1$ と帰納法の仮定より，

$$A \sum_{i=1}^{k}\dfrac{\lambda_i}{A}f(x_i) +\lambda_{k+1}f(x_{k+1}) \geqq A f \left( \sum_{i=1}^{k}\dfrac{\lambda_i x_i}{A} \right) +\lambda_{k+1}f(x_{k+1})$$

となる。さらに，$A+\lambda_{k+1}=1$ と性質1より $$A f \left( \sum_{i=1}^{k}\dfrac{\lambda_i x_i}{A} \right) +\lambda_{k+1}f(x_{k+1}) \geqq f \left(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i x_i\right)$$

となり示された。

点 $(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i,f(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i))$ における $f(x)$ の接線の方程式を $y=ax+b$ とおくと， $$f \left( \sum_{i=1}^n\lambda_i x_i \right) =a \left( \sum_{i=1}^n\lambda_i x_i \right) +b \quad\cdots \cdots(1)$$ である。

また，凸関数なので接線は関数の下側にあるので，

$$f(x_i)\geqq ax_i+b \quad (i=1,2,\cdots,n)$$

この各式を $\lambda_i$ 倍して $i=1$ から $n$ まで加える。

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i) &\geqq a\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i+\left( \sum_{i=1}^n\lambda_i \right) b\\ &=a \left( \sum_{i=1}^n\lambda_i x_i \right)+b \end{aligned}$$

この不等式と $(1)$ からイェンゼンの不等式が示された。

まず，$\left(\dfrac{\lambda_1x_1+\lambda_2x_2}{\lambda_1+\lambda_2}, \dfrac{\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)}{\lambda_1+\lambda_2}\right)$ は点 $(x_1,f(x_1))$ と点 $(x_2,f(x_2))$ を $\lambda_2:\lambda_1$ に内分する点なので，凸包に含まれる。

よって，$\left(\dfrac{\tfrac{\lambda_1x_1+\lambda_2x_2}{\lambda_1+\lambda_2}(\lambda_1+\lambda_2)+\lambda_3x_3}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3},\dfrac{\tfrac{\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)}{\lambda_1+\lambda_2}(\lambda_1+\lambda_2)+\lambda_3f(x_3)}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}\right)$

は点 $\left(\dfrac{\lambda_1x_1+\lambda_2x_2}{\lambda_1+\lambda_2}, \dfrac{\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)}{\lambda_1+\lambda_2}\right)$ と点 $(x_3,f(x_3))$ を $\lambda_3:\lambda_1+\lambda_2$ に内分する点なので，凸包に含まれる。

つまり，

$\left(\dfrac{\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\lambda_3x_3}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}, \dfrac{\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\lambda_3f(x_3)}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3}\right)$ も凸包に含まれる。

以下同様にして，

$\left(\dfrac{\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i}{\sum_{i=1}^n\lambda_i},\dfrac{\sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i)}{\sum_{i=1}^n\lambda_i}\right)$ も凸包に含まれることが分かるが，$\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$ よりイェンゼンの不等式は示された。

$\displaystyle \alpha = \int_a^b g(x) p(x) dx$ とおく。

$x = \alpha$ での $y = f(x)$ の接線を $l$ とおく。凸性より $l$ は $y = f(x)$ より下にある。

つまり， $$f(x) \geqq f'(\alpha) (x-\alpha) + f(\alpha)$$ となる。$x = g(t)$ を代入し，辺々に $p(t)$ を掛けると $$f(g(t)) p(t) \geqq f'(\alpha) (g(t)-\alpha) p(t) + f(\alpha) p(t)$$ となる。

辺々を $[a,b]$ で積分すると $$\begin{aligned} &\int_a^b f(g(t)) p(t) dt\\ &\geqq f'(a) \left( \int_a^b g(t) p(t) dt - \alpha \right) + f(\alpha)\\ &\geqq f \left( \int_a^b g(x) p(x) dx \right) \end{aligned}$$ となる。$\displaystyle \left( \int_a^b p(t) dt = 1 \ \text{に注意} \right)$