ヤングの不等式の３通りの証明

まず，$$\displaystyle\int_0^af(t)dt+\int_0^bg(t)dt\geq ab$$ を示す。ただし，$f$ は $f(0)=0$ を満たす単調増加関数で，$g$ はその逆関数（これを積分形のヤングの不等式と言う）。

左辺第一項は赤い部分の面積。左辺第二項は青い部分の面積。右辺は紫の長方形の面積より不等式が成立。

ここで，$f(x)=x^{p-1}$ とおくと，$\dfrac{1}{p-1}=q-1$ より逆関数は $g(x)=x^{q-1}$ となる。

よって，$\displaystyle\int_0^af(t)dt=\dfrac{a^p}{p}$ などにより，積分形のヤングの不等式から「もとのヤングの不等式」が得られる。

$f(x)=e^x$ とおくと，$f''(x)=e^x>0$ より $f(x)$ は凸関数である。よってイェンゼンの不等式より，

$$\dfrac{f(x)}{p}+\dfrac{f(y)}{q}\geq f\left(\dfrac{x}{p}+\dfrac{y}{q}\right)$$

つまり，$\dfrac{e^x}{p}+\dfrac{e^y}{q}\geq e^{\tfrac{x}{p}}e^{\tfrac{y}{q}}$ である。

ここで，$x=p\log a,y=q\log b$ とおくとヤングの不等式を得る。

重み付き相加相乗平均の不等式： $w_1a_1+w_2a_2\geq a_1^{w_1}a_2^{w_2}$ において，

$w_1=\dfrac{1}{p},w_2=\dfrac{1}{q}$，$a_1=a^p, a_2=b^q$ とおくとヤングの不等式になる。