ミンコフスキーの不等式とその証明

$x_i,y_i$ についての斉次式なので $\|x\|_p=\|y\|_q=1$ の場合についてのみ証明すればよい（例えば $x$ を $a$ 倍すると $p$ ノルムも $a$ 倍され，右辺と左辺の比は変わらない）。

ヤングの不等式に $a=|x_i|,b=|y_i|$ を代入すると， $|x_iy_i|\leq\dfrac{|x_i|^p}{p}+\dfrac{|y_i|^q}{q}$ となる。

これを $i=1$ から $n$ まで足し合わせると，

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n|x_ky_k| &\leq\dfrac{\|x\|_p^p}{p}+\dfrac{\|y\|_q^q}{q}\\ &=\dfrac{1^p}{p}+\dfrac{1^q}{q}\\ &=1=\|x\|_p\|y\|_q \end{aligned}$$

となりヘルダーの不等式を得る。

$$\begin{aligned} \|x+y\|_p^p &= \sum_{k=1}^n|x_k+y_k|^p\\ &\leq \sum_{k=1}^n|x_k||x_k+y_k|^{p-1}+\sum_{k=1}^n|y_k||x_k+y_k|^{p-1} \end{aligned}$$

ここで，右辺第一項はヘルダーの不等式より，上から

$$\|x\|_p\||x+y|^{p-1}\|_q \quad\cdots (\ast)$$

で抑えられる。（ただし，$q=\dfrac{p}{p-1}$ とする）

$(\ast)$ を変形すると，

$$\begin{aligned} \|x\|_p \left( \sum_{k=1}^n|x_k+y_k|^{p} \right)^{\frac{p-1}{p}} =\|x\|_p\|x+y\|_p^{p-1} \end{aligned}$$

第二項も同様に評価できるので結局，

$$\|x+y\|_p^p\leq \|x\|_p\|x+y\|_p^{p-1}+\|y\|_p\|x+y\|_p^{p-1}$$

この両辺を $\|x+y\|_p^{p-1}$ で割るとミンコフスキーの不等式を得る。

（$\|x+y\|_p^{p-1}=0$ のときは左辺 $=0$ となり自明に成立）