Lp空間と様々な関数不等式～関数におけるヘルダーの不等式

$\| f \|_p , \| g \|_q \neq 0$ としてよい。

ヤングの不等式において $a = \dfrac{|f(x)|}{\|f\|_p}$，$b = \dfrac{|g(x)|}{\|g\|_q}$ とおくと， $$\dfrac{|f(x)\|g(x)|}{\|f\|_p \|g\|_q} \leq \dfrac{1}{p} \dfrac{|f(x)|^p}{\|f\|_p^p} + \dfrac{1}{q} \dfrac{|g(x)|^q}{\|g\|_q^q}$$ である。両辺を $X$ で積分することで $$\begin{aligned} &\dfrac{1}{\|f\|_p \|g\|_q} \int_{X} |f(x)g(x)| dx\\ &\leq \dfrac{1}{p} \dfrac{1}{\|f\|_p^p} \int_{X} |f(x)|^p dx + \dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\|g\|_q^q} \int_{X} |g(x)|^q dx\\ &= \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 \end{aligned}$$ を得る。両辺に $\|f\|_p \|g\|_q$ を掛けることで結論を得る。

$p=1$ のときは $(\ast)$ から $|f(x)+g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)|$ である。両辺を積分することで不等式を得る。

$p > 1$ とする。

$(\ast)$ より $|f(x)+g(x)|^p \leq |f(x)|^p + |g(x)|^p$，両辺を積分することで $\|f+g\|_p \leq \| f \|_p + \| g \|_p < \infty$ を得る。

このとき $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$ を満たす $q$ が得られる。

このとき $\dfrac{p}{q} = p-1$ であるため $$\begin{aligned} &\| |f+g|^{p-1} \|_q\\ &= \left( \int_{X} \{ |f(x) + g(x)|^{p-1} \}^q dx \right)^{\frac{1}{q}}\\ &= \left( \int_{X} |f(x)+g(x)|^{p} dx \right)^{\frac{1}{q}}\\ &= \| f+g \|_p^{\frac{p}{q}}\\ &= \| f+g \|_p^{p-1} < \infty \end{aligned}$$ であることから $f+g \in L^q (X)$ である。

こうしてヘルダーの不等式を用いることができる。 $$\begin{aligned} \| f+g \|_p^p &= \int_{X} |f(x)+g(x)|^p dx\\ &\leq \int_{X} |f(x) + g(x)|^{p-1} |f(x)| \; dx\\ &\quad\quad + \int_{X} |f(x) + g(x)|^{p-1} |g(x)| \; dx\\ &= \| |f+g|^{p-1} \|_q (\|f\|_p + \|g\|_p)\\ &= \| f+g \|_p^{p-1} (\|f\|_p + \|g\|_p) \end{aligned}$$ 両辺を $\|f+g\|_p^{p-1}$ で割って $$\|f+g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$$ を得る。

$\displaystyle \int_{\mathbb{R}} |(f \ast g) (x)| dx < \infty$ を示せばよい。

$$\int_{\mathbb{R}} |(f \ast g) (x)| dx = \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} |f(y) g(x-y)| dydx$$

フビニの定理より，積分の順序を入れ替えてよい。

$$\begin{aligned} \int_{\mathbb{R}} |(f \ast g) (x)| dx &= \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} |f(y) g(x-y)| dxdy\\ &= \int_{\mathbb{R}} |f(y)| \int_{\mathbb{R}} |g(x-y)| dx dy\\ &= \int_{\mathbb{R}} |f(y)| \| g \|_1 dy\\ &= \| f \|_1 \| g \|_1 < \infty \end{aligned}$$

よって示された。

$$\begin{aligned} \| f \|_p &= \left( \int_{X} |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}\\ &\leq \left( \int_{X} \| f \|_{\infty}^p dx \right)^{\frac{1}{p}}\\ &= \left( \int_{X} dx \right)^{\frac{1}{p}} \| f \|_{\infty} \end{aligned}$$ より $$\lim_{p \to \infty} \left( \int_{X} |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \leq \| f \|_{\infty}$$ である。

逆に，$0 < \alpha < \| f \|_{\infty}$ を任意とすると， $$\begin{aligned} \| f \|_p &= \left( \int_{X} |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}\\ &\geq \left( \int_{\{ x \mid |f(x)| > \alpha \}} |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}\\ &\geq \left( \int_{\{ x \mid |f(x)| > \alpha \}} \alpha^p dx \right)^{\frac{1}{p}}\\ &\geq \left( \int_{\{ x \mid |f(x)| > \alpha \}} dx \right)^{\frac{1}{p}} \alpha\\ \end{aligned}$$ より $$\lim_{p \to \infty} \left( \int_{X} |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \geq \alpha$$ である。

$\alpha \to \| f \|_{\infty}$ とすることで $\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \int_{X} |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} = \| f \|_{\infty}$ を得る。

$f \in L^q (X)$ とする。

$\dfrac{1}{\frac{q}{p}} + \dfrac{1}{\frac{q}{q-p}} = 1$ であることに注意してヘルダーの不等式を使うと， $$\begin{aligned} \int_{X} |f|^p dx &= \int_{X} |f|^p \cdot 1 dx\\ &\leq \left( \int_{X} |f|^{p \cdot \frac{q}{p}} dx \right)^{\frac{p}{q}} \left( \int_{X} 1^{\frac{q}{q-p}} dx \right)^{\frac{q-p}{q}}\\ &= \| f \|_q^p \times\left(\int_{X} dx\right)^{\frac{q}{q-p}} < \infty \end{aligned}$$ と計算できる。

こうして $\| f \|_p < \infty$ すなわち $f \in L^p (X)$ である。

$1 < p < q < \infty$ とする。

このとき，ある実数 $\alpha$ があって $\dfrac{1}{q} < \alpha < \dfrac{1}{p}$ となるものが取れる。

このとき $0 < p\alpha < 1$，$1 < q\alpha < 2$ である。

1. $f \in L^p \backslash L^q$ の例

$$f(x) = \begin{cases} x^{-\alpha} &(0 < x < 1)\\ 0 &(\mathrm{other}) \end{cases}$$ とおく。

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^p dx &= \int_0^1 x^{-p\alpha}\\ &= \Big[ \dfrac{x^{1-p\alpha}}{1-p\alpha} \Big]_0^1\\ &= \dfrac{1}{1-p\alpha} < \infty\\ \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^q dx &= \int_0^1 x^{-q\alpha}\\ &= \Big[ \dfrac{x^{1-q\alpha}}{1-q\alpha} \Big]_0^1\\ &= \infty\\ \end{aligned}$$

2. $f \in L^q \backslash L^p$ の例

$g(x) = \dfrac{1}{(1+|x|)^{\alpha}}$ とおく。 $$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^p dx &= 2 \int_0^{\infty} \dfrac{1}{(1+x)^{p\alpha}}\\ &= \Big[ \dfrac{1}{1-p\alpha} (1+x)^{1-p\alpha} \Big]_0^{\infty}\\ &= \infty\\ \int_{-\infty}^{\infty} |g(x)|^q dx &= 2 \int_0^{\infty} \dfrac{1}{(1+x)^{q\alpha}}\\ &= \Big[ \dfrac{1}{1-q\alpha} (1+x)^{1-q\alpha} \Big]_0^{\infty}\\ &= \dfrac{1}{1-q\alpha} < \infty \end{aligned}$$