フビニの定理～重積分の計算について

トネリの定理より積分の順序を入れ替えてよい。

$$\begin{aligned} I &= \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{(1+x)(1+xy^2)} dy \right) dx\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{1+x} \left( \int_0^{\infty} \dfrac{1}{1+xy^2} dy \right) dx\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{1+x} \left( \left[ \dfrac{\arctan (\sqrt{x} y)}{\sqrt{x}} \right]_0^{\infty} \right) dx\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{\pi}{2(1+x)\sqrt{x}} dx \end{aligned}$$ ここで $t = \sqrt{x}$ と置換すると $$\begin{aligned} I &= \int_0^{\infty} \dfrac{2\pi t}{2(1+t^2) t} dt\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{\pi}{1+t^2} dt\\ &= \Big[ \pi \arctan t \Big]_0^{\infty}\\ &= \dfrac{\pi^2}{2} \end{aligned}$$ となる。

$\dfrac{x}{1+x^2y^4}$ は $\mathbb{R}^2$ で有界である。$\left|\dfrac{x}{1+x^2y^4}\right|$ の最大値を $M$ とおく。

このとき $$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left| \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} \right| dy \right) dx\\ &\leqq \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} M e^{-x^2 - y^2} dy \right) dx\\ &= M\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \left( \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} dy \right) dx\\ &= M\sqrt{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx\\ &= M\pi\\ &< \infty \end{aligned}$$ と計算される。つまり，$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left| \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} \right| dy \right) dx$ は有限値である

よって，フビニ・トネリの定理から，積分の順序を入れ替えてよい。

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} dx \right) dy$ を計算する。

被積分関数は $x$ について奇関数であるため， $$\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} dx = 0$$ である。

よって $$\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} dx \right) dy = 0$$ である。

$|f|$ は $[a,b] \times [c,d]$ 上可測な非負関数であるため，トネリの定理より $$\begin{aligned} &\int_a^b \left( \int_c^d |f(x,y)| dy \right) dx\\ &= \int_{[a,b] \times [c,d]} |f(x,y)| dxdy\\ &= \int_c^d \left( \int_a^b |f(x,y)| dx \right) dy \end{aligned}$$ である。

よって，$\displaystyle \int_a^b \left( \int_c^d |f(x,y)| dy \right) dx$，$\displaystyle \int_{[a,b] \times [c,d]} |f(x,y)| dx dy$，$\displaystyle \int_c^d \left( \int_a^b |f(x,y)| dx \right) dy$ のいずれかが有限値であれば，他もまた有限値である。

よって $\displaystyle \int_{[a,b] \times [c,d]} |f(x,y)| dx dy<\infty$ であるため，$f(x,y)$ は $[a,b] \times [c,d]$ 上可積分な関数となる。

こうしてフビニの定理の仮定を満たし，定理が示された。

有界な閉領域を $D$，$D$ 上の連続関数を $f(x,y)$ とする。

有界な閉領域上で連続関数は最大値・最小値を持つ。$|f(x,y)|$ の最大値を $M$ とおくと，

$$\begin{aligned} \left| \iint_D f(x,y) dxdy \right| &\leqq \iint_D |f(x,y)| dxdy\\ &\leqq \int_D M dxdy\\ &< \infty \end{aligned}$$ となるため，$f$ は $D$ 上で可積分である。ゆえにフビニの定理から積分の順序を入れ替えてよい。