フビニの定理~重積分の計算について

逐次積分できる条件

ff[a,b]×[c,d][a,b] \times [c,d] 上で

  1. 可積分な連続関数
  2. 非負な連続関数

のいずれかを満たすなら,以下の式が成り立つ。

ab(cdf(x,y)dy)dx=[a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy=cd(abf(x,y)dx)dy\begin{aligned} &\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy \right) dx\\ &= \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) dxdy\\ &= \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) dx \right) dy \end{aligned}

つまり逐次積分と重積分は一致する(積分の順序を交換できる)。

  1. また,いずれかの順序での(絶対値の)積分値が有限の値になれば,積分の順序を入れ替えてよい
  2. また,有界な閉領域上での連続関数の重積分の順序は入れ替えてよい。

1はフビニの定理,2はトネリの定理と呼ばれます。3は1と2を組み合わせることにより示すことができ,フビニ・トネリの定理と呼ばれます。

1~4について順番に紹介していきます。2~4は計算例を,3と4は証明も述べます。

フビニの定理

フビニの定理

f(x,y)f(x,y)[a,b]×[c,d][a,b] \times [c,d] 上可積分な関数なら,逐次積分と重積分は一致する。つまり ab(cdf(x,y)dy)dx=[a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy=cd(abf(x,y)dx)dy\begin{aligned} &\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy \right) dx\\ &= \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) dxdy\\ &= \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) dx \right) dy \end{aligned} となる。

可積分であるとは, [a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy< \left| \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) dxdy \right| < \infty ということです。

可積分であれば,どのような順序で積分してもOKというのは,まっとうなことだなぁと感じるでしょう。

しかし「f(x,y)f(x,y)[a,b]×[c,d][a,b] \times [c,d] 上可積分な関数」というのがポイントで,たとえ f(x,y)f(x,y)xx から積分すれば可積分であっても,積分の順序を入れ替えてよいとは限りません。

f(x,y)=xy2f(x,y) = xy^2xx の関数として奇関数であるが,yy の関数としてみると奇関数ではない。

このとき xx から積分した場合の積分値と,yy から積分した場合の積分値は次のようになる。

(xy2dx)dy=0 \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} xy^2 dx \right) dy = 0

(xy2dy)dx= \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} xy^2 dy \right) dx = \infty

トネリの定理

トネリの定理

f(x,y)f(x,y)[a,b]×[c,d][a,b] \times [c,d] 上ほとんどいたるところで非負な可測関数なら,逐次積分と重積分は一致する。つまり ab(cdf(x,y)dy)dx=[a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy=cd(abf(x,y)dx)dy\begin{aligned} &\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy \right) dx\\ &= \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) dxdy\\ &= \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) dx \right) dy \end{aligned} となる。

※ルベーグ積分の用語に詳しくない方は以下の記事も参考にしてください:

例題1

I=0(01(1+x)(1+xy2)dx)dy\displaystyle I = \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{(1+x)(1+xy^2)} dx \right) dy の値を求めよ。

被積分関数が正になることからトネリの定理が使えます。

トネリの定理より積分の順序を入れ替えてよい。

I=0(01(1+x)(1+xy2)dy)dx=011+x(011+xy2dy)dx=011+x([arctan(xy)x]0)dx=0π2(1+x)xdx\begin{aligned} I &= \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{(1+x)(1+xy^2)} dy \right) dx\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{1+x} \left( \int_0^{\infty} \dfrac{1}{1+xy^2} dy \right) dx\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{1}{1+x} \left( \left[ \dfrac{\arctan (\sqrt{x} y)}{\sqrt{x}} \right]_0^{\infty} \right) dx\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{\pi}{2(1+x)\sqrt{x}} dx \end{aligned} ここで t=xt = \sqrt{x} と置換すると I=02πt2(1+t2)tdt=0π1+t2dt=[πarctant]0=π22\begin{aligned} I &= \int_0^{\infty} \dfrac{2\pi t}{2(1+t^2) t} dt\\ &= \int_0^{\infty} \dfrac{\pi}{1+t^2} dt\\ &= \Big[ \pi \arctan t \Big]_0^{\infty}\\ &= \dfrac{\pi^2}{2} \end{aligned} となる。

フビニ・トネリの定理

フビニの定理とトネリの定理を合わせて使うと,以下のフビニ・トネリの定理が得られます。これは なにかしらの順序での(絶対値の)積分値が有限であったら,順序を入れ替えても良い という定理です。

フビニ・トネリの定理

f(x,y)f(x,y)[a,b]×[c,d][a,b] \times [c,d] 上可測な関数とする。

ab(cdf(x,y)dy)dx\displaystyle \int_a^b \left( \int_c^d |f(x,y)| dy \right) dx[a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy\displaystyle \int_{[a,b] \times [c,d]} |f(x,y)| dx dycd(abf(x,y)dx)dy\displaystyle \int_c^d \left( \int_a^b |f(x,y)| dx \right) dyいずれかが有限値ならば,逐次積分と重積分は一致する。つまり ab(cdf(x,y)dy)dx=[a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy=cd(abf(x,y)dx)dy\begin{aligned} &\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy \right) dx\\ &= \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) dxdy\\ &= \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) dx \right) dy \end{aligned} となる。

例題2

(xex2y21+x2y4dy)dx\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} dy \right) dx の値を求めよ。

え,こんな複雑な関数の積分できるの……? と思うかもしれませんが,フビニ・トネリの定理を使えば簡単に値が求まります。

x1+x2y4\dfrac{x}{1+x^2y^4}R2\mathbb{R}^2 で有界である。x1+x2y4\left|\dfrac{x}{1+x^2y^4}\right| の最大値を MM とおく。

このとき (xex2y21+x2y4dy)dx(Mex2y2dy)dx=M0ex2(0ey2dy)dx=Mπ0ex2dx=Mπ<\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left| \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} \right| dy \right) dx\\ &\leqq \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} M e^{-x^2 - y^2} dy \right) dx\\ &= M\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} \left( \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} dy \right) dx\\ &= M\sqrt{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx\\ &= M\pi\\ &< \infty \end{aligned} と計算される。つまり,(xex2y21+x2y4dy)dx\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \left| \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} \right| dy \right) dx は有限値である

よって,フビニ・トネリの定理から,積分の順序を入れ替えてよい。

(xex2y21+x2y4dx)dy\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} dx \right) dy を計算する。

被積分関数は xx について奇関数であるため, xex2y21+x2y4dx=0 \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} dx = 0 である。

よって (xex2y21+x2y4dx)dy=0 \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{xe^{-x^2 - y^2}}{1+x^2 y^4} dx \right) dy = 0 である。

なお,重積分の他の例題は 重積分の計算方法と例題3問 をチェックしてみてください。

証明

フビニの定理では f(x,y)f(x,y) の可積分性が分かれば積分順序を入れ替えてよいことが主張されています。しかし,実際の計算で [a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy<\displaystyle \left| \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) dx dy \right| < \infty を確かめるのは難しいことが多いです。

ここでトネリの定理を見てみましょう。トネリの定理は正の値を取る関数であれば,積分順序を入れ替えてよいことを主張しています。つまり [a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy=cdabf(x,y)dxdy=abcdf(x,y)dydx\begin{aligned} \int_{[a,b] \times [c,d]} |f(x,y)| dx dy &= \int_c^d \int_a^b |f(x,y)| dxdy\\ &= \int_a^b \int_c^d |f(x,y)| dydx \end{aligned} を主張しています。

これらを組み合わせると,最初に「確かめるのは難しい」と思っていた可積分性が実は簡単にチェックできることに気付けますね。

フビニ・トネリの定理の証明

f|f|[a,b]×[c,d][a,b] \times [c,d] 上可測な非負関数であるため,トネリの定理より ab(cdf(x,y)dy)dx=[a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy=cd(abf(x,y)dx)dy\begin{aligned} &\int_a^b \left( \int_c^d |f(x,y)| dy \right) dx\\ &= \int_{[a,b] \times [c,d]} |f(x,y)| dxdy\\ &= \int_c^d \left( \int_a^b |f(x,y)| dx \right) dy \end{aligned} である。

よって,ab(cdf(x,y)dy)dx\displaystyle \int_a^b \left( \int_c^d |f(x,y)| dy \right) dx[a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy\displaystyle \int_{[a,b] \times [c,d]} |f(x,y)| dx dycd(abf(x,y)dx)dy\displaystyle \int_c^d \left( \int_a^b |f(x,y)| dx \right) dy のいずれかが有限値であれば,他もまた有限値である。

よって [a,b]×[c,d]f(x,y)dxdy<\displaystyle \int_{[a,b] \times [c,d]} |f(x,y)| dx dy<\infty であるため,f(x,y)f(x,y)[a,b]×[c,d][a,b] \times [c,d] 上可積分な関数となる。

こうしてフビニの定理の仮定を満たし,定理が示された。

補足:このようなことも言えます

f(x,y)f(x,y)[a,b]×[c,d][a,b] \times [c,d] 上可積分な関数のとき,以下の1~4も成立します(f(x,y)f(x,y)xx の関数と見たものを fy(x)f_y (x)f(x,y)f(x,y)yy の関数と見たものを fx(y)f_x (y) とおきます)。

  1. (ほとんどいたる yy で)fy(x)f_y (x)[a,b][a,b] で可積分である。
  2. (ほとんどいたる xx で)fx(y)f_x(y)[c,d][c,d] で可積分である。
  3. F(x)=cdfx(y)dy\displaystyle F(x) = \int_c^d f_x (y) dy[a,b][a,b] で可積分である。
  4. G(x)=abfy(x)dx\displaystyle G(x) = \int_a^b f_y (x) dx[c,d][c,d] で可積分である。

有界な領域での重積分

定理

有界な閉領域上での連続関数の重積分の順序は入れ替えてよい。

実際に積分の順序を入れ替えてよいことを確認しよう。

DD0y1,yxy+10 \leqq y \leqq 1, y \leqq x \leqq y+1 を満たす領域とする。f(x,y)=xyf(x,y) = xy とする。

このとき xx から積分すると 01yy+1xydxdy=01[12x2y]yy+1dy=0112(2y2+y)dy=[13y3+14y2]01=712\begin{aligned} \int_0^1 \int_{y}^{y+1} xy dxdy &= \int_0^1 \Big[ \dfrac{1}{2} x^2 y \Big]_{y}^{y+1} dy\\ &= \int_0^1 \dfrac{1}{2} \left( 2y^2 + y \right) dy\\ &= \Big[ \dfrac{1}{3} y^3 + \dfrac{1}{4} y^2 \Big]_0^1\\ &= \dfrac{7}{12} \end{aligned}

となる。yy から積分する。下のように領域を分割して計算する。

pic

  • D1D_1 の積分 010xxydydx=01[12xy2]0xdx=0112x3dx=[18x4]01=18\begin{aligned} \int_0^1 \int_0^{x} xy dy dx &= \int_0^1 \Big[ \dfrac{1}{2} xy^2 \Big]_0^x dx\\ &= \int_0^1 \dfrac{1}{2} x^3 dx\\ &= \Big[ \dfrac{1}{8} x^4 \Big]_0^1\\ &= \dfrac{1}{8} \end{aligned}

  • D2D_2 の積分 12x11xydydx=12[12xy2]x11dx=12(12x3+x2)dx=[18x4+13x3]12=2+83+1813=1124\begin{aligned} \int_1^2 \int_{x-1}^{1} xy dy dx &= \int_1^2 \Big[ \dfrac{1}{2} xy^2 \Big]_{x-1}^1 dx\\ &= \int_1^2 \left( -\dfrac{1}{2} x^3 + x^2 \right) dx\\ &= \Big[ -\dfrac{1}{8} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 \Big]_1^2\\ &= -2+\dfrac{8}{3} + \dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{3} \\ &= \dfrac{11}{24} \end{aligned}

これらを足して 18+1124=712\dfrac{1}{8} + \dfrac{11}{24} = \dfrac{7}{12} となる。

こうして積分の順序を入れ替えても積分値が等しいことがわかった。

証明

有界な閉領域を DDDD 上の連続関数を f(x,y)f(x,y) とする。

有界な閉領域上で連続関数は最大値・最小値を持つ。f(x,y)|f(x,y)| の最大値を MM とおくと,

Df(x,y)dxdyDf(x,y)dxdyDMdxdy<\begin{aligned} \left| \iint_D f(x,y) dxdy \right| &\leqq \iint_D |f(x,y)| dxdy\\ &\leqq \int_D M dxdy\\ &< \infty \end{aligned} となるため,ffDD 上で可積分である。ゆえにフビニの定理から積分の順序を入れ替えてよい。

非有界な領域(R2\mathbb{R}^2 など)での積分の順序の入れ替えができるかどうか,この定理では判別できないため,そのような場合は別途検証が必要になります。

応用

f,gf,g をルベーグ可積分な関数とします。この畳み込み積 (fg)(x)=Rf(y)g(xy)dy (f \ast g)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(y) g(x-y) dy はルベーグ可積分となります。この証明にはフビニの定理を使います。

詳しくは LpL^p 空間 を読んでみてください。

飛鳥時代や奈良時代に皇族などに使えていた人のことを舎人(とねり)といいます。もちろんトネリの定理とは無関係です。