ルベーグの収束定理

この記事では，積分と極限の交換に関するルベーグの収束定理を紹介します。

積分と極限の交換

∫ablim⁡n→∞fn(x)dx=lim⁡n→∞∫abfn(x)dx\displaystyle\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)dx

は成立するか？

積分と無限和の交換について

  • 数学科のジョーク(?)として「物理学科だったらここの積分と極限を交換できるんだけどなぁ……」というものがあります。

  • 交換できる例： lim⁡n→∞∫0∞(1+xn)−nx−1ndx \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} \left( 1+\dfrac{x}{n} \right)^{-n} x^{-\frac{1}{n}} dx という計算は，積分と極限を入れ替えて
    ∫0∞lim⁡n→∞(1+xn)−nx−1ndx=∫0∞e−xdx\displaystyle\int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \left( 1+\dfrac{x}{n} \right)^{-n} x^{-\frac{1}{n}} dx\\ =\displaystyle\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx
    とできます（証明は記事末の発展問題2で）。

  • 交換できない例： fn(x)={1(n≦x≦n+1)0(その他) f_n (x) = \begin{cases} 1 &(n \leqq x \leqq n+1)\\ 0 &(\text{その他}) \end{cases} を考えてみましょう。lim⁡n→∞fn(x)=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n (x) = 0 なので, lim⁡n→∞∫0∞fn(x)dx=1∫01lim⁡n→∞fn(x)dx=0\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} f_n (x) dx &= 1\\ \int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n (x) dx &= 0 \end{aligned} となり，積分と極限は交換はできません。

  • この記事では，交換できるための十分条件を表すルベーグの収束定理を紹介します。

  • 他の条件については積分と極限（無限和）の交換も参照してください。

ルベーグの収束定理

ルベーグの収束定理（優収束定理）

関数列 fn(x)f_n (x) は [a,b][a,b] 上で可測とし，f(x)f(x) に各点収束するとする。（a=−∞a = -\infty や b=∞b = \infty でも良い）

「すべての nn に対してほとんどいたるところで ∣fn(x)∣≦∣g(x)∣|f_n (x)| \leqq |g(x)|」を満たす可積分関数 g(x)g(x) が存在するとき， lim⁡n→∞∫abfn(x)dx=∫abf(x)dx \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n (x) dx = \int_a^b f (x) dx となる。

証明はルベーグ積分論の本を参照してください。

例題1

次の積分を計算しなさい。

lim⁡n→∞∫0∞11+xndx\displaystyle\lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} \dfrac{1}{1+x^n} dx

解答

fn(x)=11+xnf_n (x) = \dfrac{1}{1+x^n} とおく。n≧2n \geqq 2 で考える。

x≦1x \leqq 1 において 11+xn≦1\dfrac{1}{1+x^n}\leqq 1 であり，x≧1x \geqq 1 において 11+xn≦11+x2\dfrac{1}{1+x^n} \leqq \dfrac{1}{1+x^2} である。よって g(x)={1(x≦1)11+x2(x≧1) g(x) = \begin{cases} 1 &(x \leqq 1)\\ \dfrac{1}{1+x^2} &(x \geqq 1) \end{cases} とおくと，各点 xx で ∣fn(x)∣≦g(x)|f_n (x)| \leqq g(x) である。

∫0∞g(x)dx=∫01dx+∫1∞dx1+x2=1+[arctan⁡x]1∞=1+π2−π4=1+π4<∞\begin{aligned} &\int_0^{\infty} g(x) dx\\ &= \int_0^1 dx + \int_1^{\infty} \dfrac{dx}{1+x^2}\\ &= 1 + \Big[ \arctan x \Big]_1^{\infty}\\ &= 1 + \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4}\\ &= 1 + \dfrac{\pi}{4} < \infty \end{aligned}

よって，gg は可積分である。ゆえにルベーグの収束定理から積分と極限が交換できる。

lim⁡n→∞fn(x)={1(0≦x<1)12(x=1)0(x>1) \lim_{n \to \infty} f_n (x) = \begin{cases} 1 &(0 \leqq x < 1)\\ \dfrac{1}{2} &(x = 1)\\ 0 &(x > 1) \end{cases} であるため lim⁡n→∞∫0∞fn(x)dx=∫0∞lim⁡n→∞fn(x)dx=∫01dx=1\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} f_n (x) dx\\ &= \int_0^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n (x) dx\\ &= \int_0^1 dx = 1 \end{aligned} である。

最後の積分

lim⁡n→∞fn\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n は x=1x = 1 で不連続ですが，1点での積分値は 00 と見なせます。

具体的にルベーグ積分の形で書きましょう。 lim⁡n→∞fn=χ[0,1)+12χ{1} \lim_{n \to \infty} f_n = \chi_{[0,1)} + \dfrac{1}{2} \chi_{\{ 1 \}} となります。μ({1})=0\mu (\{1\}) = 0 であるため x=1x = 1 の部分は（定積分の上で）無視できます。

補足

ルベーグ積分に詳しくない方は

  • 可測関数 → 積分ができる関数（連続関数，不連続点が有限個の関数 などが例です）

と読み替えてください。以下の記事も参考にしてください。

※ この記事では [a,b][a,b] 上での積分を考えていますが，一般には測度が定義されている集合 XX であれば同様の定理が得られます。（例えば重積分や複素積分でも同様の定理が成り立ちます）

有界収束定理

ルベーグの収束定理の特殊ケースとして，有界収束定理も重要です。

ルベーグの収束定理における「おさえる関数 g(x)g(x)」が定数 MM の場合です。

有界収束定理

関数列 fn(x)f_n (x) は [a,b][a,b] 上で可測とし，f(x)f(x) に各点収束するとする。

「すべての nn に対してほとんどいたるところで ∣fn(x)∣≦M|f_n (x)| \leqq M」を満たす定数 MM が存在するとき， lim⁡n→∞∫abfn(x)dx=∫abf(x)dx \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n (x) dx = \int_a^b f (x) dx となる。

例題2

次の積分を計算しなさい。

lim⁡n→∞∫0πsin⁡nxdx\displaystyle\lim_{n \to \infty} \int_0^{\pi} \sin^n x dx

解答

任意の nn に対して ∣sin⁡nx∣≦1|\sin^n x| \leqq 1 であり，∫0πdx=π<∞\displaystyle\int_0^{\pi} dx = \pi < \infty である。

よって有界収束定理から積分と極限を交換できる。

lim⁡n→∞sin⁡nx={1(x=π2)0(その他)=χ{π2}(x)\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \sin^n x &= \begin{cases} 1 &(x = \dfrac{\pi}{2})\\ 0 &(\text{その他}) \end{cases}\\ &= \chi_{\{\frac{\pi}{2}\}} (x) \end{aligned}

より

lim⁡n→∞∫0πsin⁡nxdx=∫0πlim⁡n→∞sin⁡nxdx=∫0πχ{π2}(x)dx=μ({π2})=0\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \int_0^{\pi} \sin^n x dx &= \int_0^{\pi} \lim_{n \to \infty} \sin^n x dx\\ &= \int_0^{\pi} \chi_{\{\frac{\pi}{2}\}} (x) dx\\ &= \mu \left(\left\{\frac{\pi}{2}\right\}\right) = 0 \end{aligned}

である。

単調収束定理

ルベーグの収束定理と合わせてもう1つ重要な単調収束定理も紹介しておきます。

単調収束定理

{fn}\{ f_n \} は [a,b][a,b] 上の非負値（可測）関数列とする。ほとんどいたる xx で {fn(x)}\{ f_n (x) \} は単調に増加しているとする。（a=−∞a = -\infty や b=∞b = \infty でも良い）

このとき lim⁡n→∞∫abf(x)dx=∫ablim⁡n→∞fn(x)dx \lim_{n \to \infty} \int_a^b f(x) dx = \int_a^b \lim_{n \to \infty} f_n (x) dx である。（∞=∞\infty = \infty でも OK）

単調収束定理から直ちに以下の定理もわかります。

項別積分に関する定理

{fn}\{ f_n \} は [a,b][a,b] 上の非負値（可測）関数列とする。（a=−∞a = -\infty や b=∞b = \infty でも良い）

このとき ∫ab∑n=1∞fn(x)dx=∑n=1∞∫abfn(x)dx \int_a^b \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n (x) dx である。（∞=∞\infty = \infty でも OK）

発展問題

どの収束定理を使うか考えてみてください。

発展問題
  1. fn=x∑k=1ne−kx\displaystyle f_n = x \sum_{k=1}^n e^{-kx} とおく。次の積分を計算しなさい。

lim⁡n→∞∫0∞fn(x)dx∫0∞xex−1dx \lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} f_n (x) dx\\ \int_0^{\infty} \dfrac{x}{e^x - 1} dx

  1. 次の積分を計算しなさい。

lim⁡n→∞∫0∞(1+xn)−nx−1ndx \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} \left( 1+\dfrac{x}{n} \right)^{-n} x^{-\frac{1}{n}} dx

発展問題1

前半

そのまま計算する。In=∫0∞fn(x)dx\displaystyle I_n = \int_0^{\infty} f_n (x) dx とおく。 In=∫0∞x∑k=1ne−kxdx=∑k=1n∫0∞xe−kxdx=∑k=1n[−xe−kxk−e−kxk2]0∞=∑k=1n1k2\begin{aligned} I_n &= \int_0^{\infty} x \sum_{k=1}^n e^{-kx} dx\\ &= \sum_{k=1}^n \int_0^{\infty} x e^{-kx} dx\\ &= \sum_{k=1}^n \Big[ -\dfrac{xe^{-kx}}{k} - \dfrac{e^{-kx}}{k^2} \Big]_0^{\infty}\\ &= \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} \end{aligned}

よって lim⁡n→∞∫0∞fn(x)dx=lim⁡n→∞In=∑k=1∞1k2=π26\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \int_0^{\infty} f_n (x) dx\\ &= \lim_{n \to \infty} I_n\\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6} \end{aligned} となる。

後半の積分は，前半の積分の積分と極限を入れ替えればよさそうですね。

後半

fn(x)=x∑k=1ne−kx=xe−x(1−e−nx)1−e−x=x(1−e−nx)ex−1\begin{aligned} f_n (x) &= x \sum_{k=1}^n e^{-kx}\\ &= \dfrac{xe^{-x} (1-e^{-nx})}{1-e^{-x}}\\ &= \dfrac{x (1-e^{-nx})}{e^{x}-1} \end{aligned}

0≦1−e−nx≦10 \leqq 1 - e^{-nx} \leqq 1 より ∣fn∣≦∣xex−1∣|f_n| \leqq \left| \dfrac{x}{e^x-1} \right| である。

ゆえに lim⁡n→∞fn(x)=xex−1\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n (x) = \dfrac{x}{e^x - 1} となる。

e−nxe^{-nx} は 0≦x0 \leqq x で正であるため，項別積分の公式を用いると ∫0∞xex−1dx=∫0∞x∑n=1∞e−nxdx=∑n=1∞∫0∞xe−nxdx=π26\begin{aligned} &\int_0^{\infty} \dfrac{x}{e^x - 1} dx\\ &= \int_0^{\infty} x \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} dx\\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\infty} xe^{-nx} dx\\ &= \dfrac{\pi^2}{6} \end{aligned} となる。

発展問題2

結論から言うと，積分と極限が交換できます。（それは例題なのでまぁ……ですが）

実際に交換してみると lim⁡n→∞∫0∞(1+xn)−nx−1ndx=∫0∞lim⁡n→∞(1+xn)−nx−1ndx=∫0∞e−x=[−e−x]0∞=1e\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} \left( 1+\dfrac{x}{n} \right)^{-n} x^{-\frac{1}{n}} dx\\ &= \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \left( 1+\dfrac{x}{n} \right)^{-n} x^{-\frac{1}{n}} dx\\ &= \int_0^{\infty} e^{-x}\\ &= \Big[-e^{-x}\Big]_0^{\infty}\\ &= \dfrac{1}{e} \end{aligned} となります。

では，交換できることを証明します。ルベーグの収束定理を使うために頑張って優関数を見つけます。

証明

n≧2n \geqq 2 に対して計算しても良い。

fn(x)=(1+xn)−nx−1nf_n (x) = \left( 1+\dfrac{x}{n} \right)^{-n} x^{-\frac{1}{n}} とおく。各 nn について fn≧0f_n \geqq 0 である。

被積分関数 (1+xn)−nx−1n\left( 1+\dfrac{x}{n} \right)^{-n} x^{-\frac{1}{n}} が nn について単調減少であることを示す。

fn(x)fn+1(x)=(1+xn)x−1n(n+1) \dfrac{f_n (x)}{f_{n+1} (x)} = \left( 1+\dfrac{x}{n} \right) x^{-\frac{1}{n(n+1)}} これが 11 より大きいことを示せばよい。特に 1+xn>x1n(n+1) 1+\dfrac{x}{n} > x^{\frac{1}{n(n+1)}} を示せばよい。

F(x)=1+xn−x1n(n+1)F(x) = 1+\dfrac{x}{n} - x^{\frac{1}{n(n+1)}} とする。 F′(x)=1n−1n(n+1)x−1+1n(n+1) F'(x) = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n(n+1)} x^{-1+\frac{1}{n(n+1)}} である。F′(x)=0F'(x) = 0 を解くと x=(n+1)−n+n2n2+n−1x = (n+1)^{-\frac{n+n^2}{n^2+n-1}} となる。F(x)F(x) はここで最小値を取る。

F((n+1)−n+n2n2+n−1)=1+1n(n+1)−n+n2n2+n−1−(n+1)−1n2+n−1\begin{aligned} &F \left( (n+1)^{-\frac{n+n^2}{n^2+n-1}} \right)\\ &= 1 + \dfrac{1}{n} (n+1)^{-\frac{n+n^2}{n^2+n-1}} - (n+1)^{-\frac{1}{n^2+n-1}} \end{aligned}

ここで (n+1)−1n2+n−1=(1n+1)1n2+n−1<1(n+1)^{-\frac{1}{n^2+n-1}} = \left( \dfrac{1}{n+1} \right)^{\frac{1}{n^2+n-1}} < 1 より F((n+1)−n+n2n2+n−1)>0F \left( (n+1)^{-\frac{n+n^2}{n^2+n-1}} \right) > 0 である。

以上より F(x)>0F(x) > 0 であり，fnf_n は nn について単調減少であることがわかる。こうして ∣fn(x)∣≦∣f2(x)∣|f_n (x)| \leqq |f_2 (x)| を得る。（優関数として f2f_2 が取れた。）

さらに

∫0∞f2(x)dx=∫0∞(1+x2)−2x−12dx≦∫0π21(1+tan⁡2θ)12tan⁡θ4tan⁡θcos⁡2θdθ≦∫0π222cos⁡2θdθ=π2<∞\begin{aligned} &\int_{0}^{\infty} f_2 (x) dx\\ &= \int_0^{\infty} \left( 1+\dfrac{x}{2} \right)^{-2} x^{-\frac{1}{2}} dx\\ &\leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1}{(1+\tan^2 \theta)} \dfrac{1}{\sqrt{2} \tan \theta} \dfrac{4 \tan \theta}{\cos^2 \theta} d\theta\\ &\leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sqrt{2} \cos^2 \theta d\theta\\ &= \dfrac{\pi}{\sqrt{2}} < \infty \end{aligned}

より f2f_2 は可積分である。

以上よりルベーグの収束定理から

lim⁡n→∞∫0∞(1+xn)−nx−1ndx=∫0∞lim⁡n→∞(1+xn)−nx−1ndx=∫0∞e−x=[−e−x]0∞=1e\begin{aligned} &\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} \left( 1+\dfrac{x}{n} \right)^{-n} x^{-\frac{1}{n}} dx\\ &= \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} \left( 1+\dfrac{x}{n} \right)^{-n} x^{-\frac{1}{n}} dx\\ &= \int_0^{\infty} e^{-x}\\ &= \Big[-e^{-x}\Big]_0^{\infty}\\ &= \dfrac{1}{e} \end{aligned}

と計算される。

これで積分と極限を自由に交換できますね。

関連記事

サムネイル

積分と極限（無限和）の交換

サムネイル

ルベーグ測度

サムネイル

ルベーグ積分

サムネイル

自然対数の底（ネイピア数）の定義：収束することの証明

サムネイル

各点収束と一様収束の違いと具体例

サムネイル

極限

人気記事

サムネイル

平均値，中央値，最頻値の求め方といくつかの例

サムネイル

共分散の意味と簡単な求め方

サムネイル

部分分数分解の３通りの方法

サムネイル

放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

サムネイル

リーマン予想の意味，素数分布との関係

サムネイル

判別式まとめ【2次方程式の実数解・x軸との共有点の個数】

この記事に関連するQ&A

ヘキストワッカー法により、エチレンを塩化パラジウムと塩化銅を触媒として酸化するとアセトアルデヒドが得られる。 と問題集に 1
数学の質問です。 双曲線の媒介変数表示を図形的に導出しようとしているのですが、良く分からないところがあります。（三角関数 2
公民の時事問題対策に最近のニュースを教えてください。政治や裁判など、公民に関連するニュースでお願いします。できるだけ簡潔 3
塩は、陽イオン陰イオンの順に書くと国際的に決まっていると習ったのですが、なぜこれは陰イオンが先に書かれてあるのですか？調 4
読書感想文(もしくはエッセイ)です。 青空文庫にある梶井基次郎の「檸檬」のあらすじと、 おすすめしたいポイントを教えてく 5