ルベーグ積分

モチベーション

ルベーグ積分はリーマン積分よりも幅広い関数を扱える積分です。
ルベーグ積分を学べばリーマン積分できなかった関数も積分できたりします。
例えば，以下の不思議な関数を考えます。
f(x)={1(x∈Q)0(x∈R\Q)
f (x)=
\begin{cases}
1 &(x \in \mathbb{Q})\\
0 &(x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q})
\end{cases}
f(x)={10​(x∈Q)(x∈R\Q)​
有理数では 111，無理数では 000 となる関数です。ディリクレ関数という有名な関数です。さて
∫01f(x)dx
\int_0^1 f(x) dx
∫01​f(x)dx
はどうなるでしょうか？
リーマン積分（区分求積の方法）では，この関数は積分できません。→ リーマン積分
しかし，ルベーグ積分はできて，結果は 000 になります（この記事の後半で導出します）。
前提知識として「ルベーグ測度」「可測集合」が必要になります。ルベーグ測度をご覧ください。

可測関数

まず，連続関数を拡張した可測関数というものを考えます。

$X$ を $\mathbb{R}$ の部分集合とします。関数 $f : X \to \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$ を考えます。

※ 以下の議論は，より一般に $X$ が $\mathbb{R}^n$ の部分集合であるときにも適用できます。

可測関数とは

$X$ 上の関数 $f$ が可測であるとは，任意の $a \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}$ に対して $E (f > a) = \{ x \in X \mid f(x) > a \}$ が可測集合になることを指す。

$E(f>a) = f^{-1} (\{ y \mid y > a \})$ とも表せます。

定理

連続関数は可測関数。

証明

$f$ を連続関数とする。

$\{ y \mid y > a \}$ は開集合なので，連続関数の定義より $f^{-1} (\{ x \mid x> a \})$ も開集合になる。→ 連続関数とは何なのか～いくつかの重要な定義

そして，開集合は可測集合（→ルベーグ測度）なので，連続関数は可測関数。

簡単な性質

性質1

$f$ が可測関数であるとき，以下はどれも可測集合である。 $\begin{alignedat}{5} &E(f \geqq a) &&\quad E(f < a) &&\quad E(f \leqq a) &&\quad E (f = a)\\ &E(f < \infty) &&\quad E(f > - \infty) &&\quad E(f = \infty) &&\quad E (f = -\infty) \end{alignedat}$

可測集合の共通部分は可測であったことを思い出すと，次の性質もわかります。

性質2

$f$ が可測関数であるとき，以下はどれも可測集合である。 $E(a < f < b) \quad E(a < f \leqq b)\\ E(a \leqq f < b) \quad E(a \leqq f \leqq b)$

可測関数の和差積商

可測関数の和差積商は可測です。可測関数列の極限も可測です：

定理

以下， $f,g$ は可測関数とする。 $\{ f_n \}$ は可測関数の列とする。

$\alpha , \beta \in \mathbb{R}$ に対して $\alpha f + \beta g$ は可測関数である。
$fg$ は可測関数である。 $g \neq 0$ であれば $f/g$ も可測である。
次の関数は可測関数である。 $\sup_{n} f_n, \ \inf_{n} f_n, \ \limsup_{n \to \infty} f_n, \ \liminf_{n \to \infty} f_n$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n$ (各点収束として考える) は可測関数である。

単関数による近似

単関数

$X$ の部分集合で，可測な集合 $E$ に対して特性関数 $\chi_E (x)$ を $\chi_E (x) = \begin{cases} 1 & (x \in E)\\ 0 & (x \notin E) \end{cases}$ と定めます。

さらに有限個の互いに交わらない可測集合 $E_1 , E_2 , \cdots , E_n$ について $\sum_{i=1}^n a_i \chi_{E_i} (x)$ と表される関数を単関数といいます。

ルベーグ積分を定義するために可測関数を単関数で近似していきます。

近似定理

定理

$f$ を $X$ 上の非負値可測関数とする。

このとき単関数列 $\{ f_n \}$ で，各点 $x$ について $f_n (x)$ が単調増加し $f (x)$ に収束するものが存在する。

証明

$n$ を正の整数とする。 $j = 0,\cdots , n2^n-1$ として $E_j = \left\{ x \mid \dfrac{j}{2^n} \leqq f(x) < \dfrac{j+1}{2^n} \right\}$ と定義する。また， $E = \{ x \mid f(x) \geqq n \}$ と定義する。

$f$ は可測であったため， $E_j$ ， $E$ は可測集合です。

単関数 $f_n$ を $f_n (x) = n \chi_E (x) + \sum_{j=1}^{n2^n - 1} \dfrac{j}{2^n} \chi_{E_j} (x)$ と定める。

構成より各点で $f_n (x) \leqq f_{n+1} (x)$ である。

$x$ を固定する。

$f(x) < \infty$ のとき，十分大きな $n$ で，ある $j$ について $x \in E_j$ であるため， $|f(x) - f_n (x)| < \dfrac{1}{2^n}$ となり， $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n (x) = f(x)$ である。

一方 $f(x) = \infty$ であれば，任意の $n$ で $f_n (x) = n$ となるため，同じく $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n (x) = f(x)$ である。

以上より示された。

「非負値」がポイントです。というのも，関数が負の値も取ると，負の部分をどのように単関数で近似するか考える手間ができてしまいます。この定理では「元々負の値を取らない」ことにして面倒な部分をショートカットしたのです。