位相空間論への第一歩～連続関数とは何なのか？ いくつかの重要な定義

まずは実数全体で連続である関数の例を挙げましょう。

• $x, x^2 , x^2 + x + 1$ など多項式関数
• $\sin x , \cos 2x$ など $\sin$ と $\cos$ から成る関数
• $e^x$ など指数関数
• $\log x$ など対数関数

実数全体では連続になりませんが，一部の区間では連続な関数の例を挙げましょう。

• $\dfrac{1}{x}$ は $x = 0$ を除く実数全体で連続
• $\tan x$ は $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$（$n \in \mathbb{Z}$） を除く実数全体で連続
• $[x]$（$[ \ ]$ はガウス記号）は $x=n$ を除く実数全体で連続

詳しくは イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法 を参照してください。

定義として等価なことは 距離空間～位相空間論に向けた開集合・閉集合の一般化 を参照してください。