関数の右極限，左極限と連続性

更新日時 2021/03/07

関数の右極限，左極限，右連続，左連続，連続について解説します。

右極限とは

一変数関数 $f(x)$ について考えます。

右極限の定義

$x$ が点 $a$ に右から近づいたときの極限を点 $a$ における $f(x)$ の右極限と言う。

右極限の例

$f(x)=\dfrac{1}{x}$ は $x=0$ では定義されないが， $0$ に右から近づくと $+\infty$ に発散するので， $x=0$ における右極限は $+\infty$

数式で表すと， $\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=\infty$

このように，右極限は $\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)$ や $\displaystyle\lim_{x \downarrow a}f(x)$ という記号を使って表されます。

左極限も，右極限と同様です。

左極限の定義

$x$ が点 $a$ に左から近づいたときの極限を点 $a$ における $f(x)$ の左極限と言う。

左極限の例

$f(x)=\dfrac{1}{x}$ は $x=0$ では定義されないが， $0$ に左から近づくと $-\infty$ に発散するので， $x=0$ における左極限は $-\infty$

数式で表すと， $\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=\infty$

このように，左極限は $\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)$ や $\displaystyle\lim_{x \uparrow a}f(x)$ という記号を使って表されます。

$x$ が点 $a$ に右から近づいたとき，関数 $f(x)$ がとぎれることなく $a$ までたどりつけるとき $f(x)$ は $x=a$ で右連続と言います。数学的にきちんと言うと，

右連続の定義

$\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=f(a)$ であるとき（つまり， $x=a$ で右極限が存在して $f(a)$ と等しいとき） $f(x)$ は $x=a$ で右連続と言う。

例

$f(x)=x\:(x\neq 1)，f(1)=2$ という関数は $x=1$ で右連続か？

右連続でない例

$x=1$ に右側から近づくと $1$ です。つまり右極限 $\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)$ は $1$ です。しかし，これは $f(1)=2$ と一致しません。よって， $x=1$ で右連続ではありません。

右連続がわかれば左連続も同じです。

左連続の定義

$\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=f(a)$ であるとき（つまり， $x=a$ で左極限が存在して $f(a)$ と等しいとき） $f(x)$ は $x=a$ で左連続と言う。

$x=a$ で右連続かつ左連続なとき，つまりどっち側から近づいてもつながっているとき $x=a$ で連続と言います。

さきほどの例

$f(x)=x\:(x\neq 1)，f(1)=2$ の $x=1$ においては右連続でも左連続でもないので，当然連続ではない。

右連続だが左連続でない（したがって連続でない）関数を二つ紹介します。応用上も重要な例です。

例2（ガウス記号）

$x$ の整数部分を返す関数， $f(x)=\lfloor x\rfloor$ は右連続だが $x$ が整数の点で左連続ではない。

ガウス記号のグラフ

例えば $x=1$ に左から近づいても極限値は $0$ のままで $f(1)=1$ に一致しないので左連続ではありません。ガウス記号についてはガウス記号の定義と3つの性質を参照して下さい。

例3（分布関数）

分布関数

確率変数 $X$ が $X\leq x$ となるような確率 $P(X\leq x)$ を分布関数と呼び， $F(x)$ で表す。分布関数は右連続だが左連続とは限らない。

図はサイコロの出る目 $X$ の分布関数です。例えば， $3.8$ 以下の目が出る確率は $\dfrac{1}{2}$ なので $F(3.8)=\dfrac{1}{2}$ となります。

世の中には上極限，下極限，上半連続，下半連続などという概念もあります。