関数の右極限，左極限と連続性

右極限，左極限の定義

この記事では一変数関数 $f(x)$ について考えます（多変数関数の場合，右から近づく，とか左から近づく，とかそもそも定義できない）。

$x$ が点 $a$ に右から近づいたときの極限を点 $a$ における $f(x)$ の右極限と言います。右極限を式で書くと以下のようになります：

$\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x),\:\lim_{x \downarrow a}f(x),\:$

$x$ が点 $a$ に左から近づいたときの極限を点 $a$ における $f(x)$ の左極限と言います。左極限を式で書くと以下のようになります：

$\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x),\:\lim_{x \uparrow a}f(x),\:$

関数の右連続性と左連続性

関数の右連続性： $x$ が点 $a$ に右から近づいたとき，関数 $f(x)$ がとぎれることなく $a$ までたどりつけるとき $f(x)$ は $x=a$ で右連続と言います。

数学的にきちんと言うと，

$f(x)$ が $x=a$ で右連続

$\iff$ $x=a$ で右極限が存在して $f(a)$ と等しい

$\iff$ $\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=f(a)$

関数の左連続性：左連続性も同様に定義されます：

$f(x)$ が $x=a$ で左連続

$\iff$ $x=a$ で左極限が存在して $f(a)$ と等しい

$\iff$ $\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=f(a)$

また，$x=a$ で右連続かつ左連続なとき，つまりどっち側から近づいてもつながっているとき $x=a$ で連続と言います。

• 左右極限：どっちから近づいても極限値は $1$ なので，$\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=1$
• 連続性：$f(1)=2$ となり左右極限値と異なるので右連続でも左連続でもない。当然連続でない。

右連続だが連続でない関数の例

右連続だが左連続でない，したがって連続でないような関数を二つ紹介します。応用上も重要な例です。

例えば $x=1$ に左から近づいても極限値は $0$ のままで $f(1)=1$ に一致しないので左連続ではありません。ガウス記号についてはガウス記号の定義と3つの性質を参照して下さい。

図はサイコロの出る目 $X$ の分布関数です。例えば，$3.8$ 以下の目が出る確率は $\dfrac{1}{2}$ なので $F(3.8)=\dfrac{1}{2}$ となります。

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