関数の右極限，左極限と連続性

右極限とは

一変数関数 $f(x)$ について考えます。

このように，右極限は $\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)$ や $\displaystyle\lim_{x \downarrow a}f(x)$ という記号を使って表されます。

左極限とは

左極限も，右極限と同様です。

このように，左極限は $\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)$ や $\displaystyle\lim_{x \uparrow a}f(x)$ という記号を使って表されます。

右連続とは

$x$ が点 $a$ に右から近づいたとき，関数 $f(x)$ がとぎれることなく $a$ までたどりつけるとき $f(x)$ は $x=a$ で右連続と言います。数学的にきちんと言うと，

$x=1$ に右側から近づくと $1$ です。つまり右極限 $\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)$ は $1$ です。しかし，これは $f(1)=2$ と一致しません。よって，$x=1$ で右連続ではありません。

左連続とは

右連続がわかれば左連続も同じです。

連続とは

$x=a$ で右連続かつ左連続なとき，つまりどっち側から近づいてもつながっているとき $x=a$ で連続と言います。

右連続だが連続でない関数の例

右連続だが左連続でない（したがって連続でない）関数を二つ紹介します。応用上も重要な例です。

例えば $x=1$ に左から近づいても極限値は $0$ のままで $f(1)=1$ に一致しないので左連続ではありません。ガウス記号についてはガウス記号の定義と3つの性質を参照して下さい。

図はサイコロの出る目 $X$ の分布関数です。例えば，$3.8$ 以下の目が出る確率は $\dfrac{1}{2}$ なので $F(3.8)=\dfrac{1}{2}$ となります。

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