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関数の右極限,左極限と連続性

更新日時 2021/03/07

右極限:右から近づいたときの極限

左極限:左から近づいたときの極限

右連続:右から近づいたときにつながっている

左連続:左から近づいたときにつながっている

関数の右極限,左極限,右連続,左連続,連続について解説します。

目次
  • 右極限,左極限の定義

  • 関数の右連続性と左連続性

  • 右連続だが連続でない関数の例

右極限,左極限の定義

この記事では一変数関数 f(x)f(x) について考えます(多変数関数の場合,右から近づく,とか左から近づく,とかそもそも定義できない)。

xx が点 aa に右から近づいたときの極限を点 aa における f(x)f(x) の右極限と言います。右極限を式で書くと以下のようになります:

limxa+0f(x),limxaf(x),\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x),\:\lim_{x \downarrow a}f(x),\:

xx が点 aa に左から近づいたときの極限を点 aa における f(x)f(x) の左極限と言います。左極限を式で書くと以下のようになります:

limxa0f(x),limxaf(x),\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x),\:\lim_{x \uparrow a}f(x),\:

例1

右極限と左極限

f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x}x=0x=0 では定義されないが,00 に右から近づくと ++\infty に発散し,左から近づくと -\infty に発散するので,

limxa+0f(x)=,\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=\infty,\:

limxa0f(x)=\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=-\infty

関数の右連続性と左連続性

関数の右連続性: xx が点 aa に右から近づいたとき,関数 f(x)f(x) がとぎれることなく aa までたどりつけるとき f(x)f(x)x=ax=a で右連続と言います。

数学的にきちんと言うと,

f(x)f(x)x=ax=a で右連続

    \iff x=ax=a で右極限が存在して f(a)f(a) と等しい

    \iff limxa+0f(x)=f(a)\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=f(a)

関数の左連続性:左連続性も同様に定義されます:

f(x)f(x)x=ax=a で左連続

    \iff x=ax=a で左極限が存在して f(a)f(a) と等しい

    \iff limxa0f(x)=f(a)\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=f(a)

また,x=ax=a で右連続かつ左連続なとき,つまりどっち側から近づいてもつながっているとき x=ax=a で連続と言います。

例2

f(x)=x(x1)f(1)=2f(x)=x\:(x\neq 1),f(1)=2 という関数の x=1x=1 における右極限,左極限を求め,連続性を述べよ。

右連続と左連続

  • 左右極限:どっちから近づいても極限値は 11 なので,limxa+0f(x)=limxa0f(x)=1\displaystyle\lim_{x \to a+0}f(x)=\displaystyle\lim_{x \to a-0}f(x)=1
  • 連続性:f(1)=2f(1)=2 となり左右極限値と異なるので右連続でも左連続でもない。当然連続でない。

右連続だが連続でない関数の例

右連続だが左連続でない,したがって連続でないような関数を二つ紹介します。応用上も重要な例です。

ガウス記号のグラフ

例3(ガウス記号): xx の整数部分を返す関数,f(x)=xf(x)=\lfloor x\rfloor は右連続だが xx が整数の点で左連続ではない。

例えば x=1x=1 に左から近づいても極限値は 00 のままで f(1)=1f(1)=1 に一致しないので左連続ではありません。ガウス記号についてはガウス記号の定義と3つの性質を参照して下さい。

分布関数

例4(分布関数):確率変数 XXXxX\leq x となるような確率 P(Xx)P(X\leq x) を分布関数と呼び,F(x)F(x) で表す。分布関数は右連続だが左連続とは限らない。

図はサイコロの出る目 XX の分布関数です。例えば,3.83.8 以下の目が出る確率は 12\dfrac{1}{2} なので F(3.8)=12F(3.8)=\dfrac{1}{2} となります。

世の中には上極限,下極限,上半連続,下半連続などという概念もあります。

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