関数の右極限,左極限と連続性
右極限:右から近づいたときの極限
左極限:左から近づいたときの極限
右連続:右から近づいたときにつながっている
左連続:左から近づいたときにつながっている
関数の右極限,左極限,右連続,左連続,連続について解説します。
右極限,左極限の定義
関数の右連続性と左連続性
右連続だが連続でない関数の例
右極限,左極限の定義
この記事では一変数関数 について考えます(多変数関数の場合,右から近づく,とか左から近づく,とかそもそも定義できない)。
が点 に右から近づいたときの極限を点 における の右極限と言います。右極限を式で書くと以下のようになります:
が点 に左から近づいたときの極限を点 における の左極限と言います。左極限を式で書くと以下のようになります:
は では定義されないが, に右から近づくと に発散し,左から近づくと に発散するので,
関数の右連続性と左連続性
関数の右連続性: が点 に右から近づいたとき,関数 がとぎれることなく までたどりつけるとき は で右連続と言います。
数学的にきちんと言うと,
が で右連続
で右極限が存在して と等しい
関数の左連続性:左連続性も同様に定義されます:
が で左連続
で左極限が存在して と等しい
また, で右連続かつ左連続なとき,つまりどっち側から近づいてもつながっているとき で連続と言います。
という関数の における右極限,左極限を求め,連続性を述べよ。
- 左右極限:どっちから近づいても極限値は なので,
- 連続性: となり左右極限値と異なるので右連続でも左連続でもない。当然連続でない。
右連続だが連続でない関数の例
右連続だが左連続でない,したがって連続でないような関数を二つ紹介します。応用上も重要な例です。
例3(ガウス記号): の整数部分を返す関数, は右連続だが が整数の点で左連続ではない。
例えば に左から近づいても極限値は のままで に一致しないので左連続ではありません。ガウス記号についてはガウス記号の定義と3つの性質を参照して下さい。
例4(分布関数):確率変数 が となるような確率 を分布関数と呼び, で表す。分布関数は右連続だが左連続とは限らない。
図はサイコロの出る目 の分布関数です。例えば, 以下の目が出る確率は なので となります。
世の中には上極限,下極限,上半連続,下半連続などという概念もあります。