内分点，外分点の公式と証明

内分点の公式で $m=2,n=1$ として，内分点の座標は

$$\left(\dfrac{1\times 3+2\times 0}{2+1},\dfrac{1\times 5+2\times 8}{2+1}\right)$$ これを計算すると，$(1,7)$

同様に，外分点の座標は

$$\left(\dfrac{-1\times 3+2\times 0}{2-1},\dfrac{-1\times 5+2\times 8}{2-1}\right)$$ これを計算すると，$(-3,11)$

内分点

$\vec{AP}=\dfrac{m}{m+n}\vec{AB}$ より

$\vec{p}=\vec{a}+\dfrac{m}{m+n}\vec{AB}$

であり，右辺を変形すると

$\vec{a}+\dfrac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a})\\ =\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$

となる。

外分点

$m > n$ のときを証明する（$m < n$ のときも同様にできる）。

$\vec{AQ}=\dfrac{m}{m-n}\vec{AB}$ より

$\vec{q}=\vec{a}+\dfrac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a})$

であり，右辺を変形すると $\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$ となる。