内分点，外分点の公式と証明

更新日時 2021/03/07

高校数学の教科書でしつこいくらい（4回も！）登場する内分点，外分点の公式について。

内分点，外分点の意味
内分点，外分点の公式（座標）
内分点，外分点の公式（ベクトル）
内分点，外分点の公式（複素数平面）
証明

内分点，外分点の意味
定義線分
ABABAB
 を
m:nm:nm:n
 に内分する点
PPP
→
AP:PB=m:nAP:PB=m:nAP:PB=m:n
 を満たす点で線分
ABABAB
 の内側にあるもの
線分
ABABAB
 を
m:nm:nm:n
 に外分する点
QQQ
→
AQ:QB=m:nAQ:QB=m:nAQ:QB=m:n
 を満たす点で線分
ABABAB
 の外側にあるもの
諸注意図は m:n=3:1m:n=3:1m:n=3:1 くらい
内分は分かりやすいが，外分の定義は忘れやすいので注意
m>nm > nm>n のときは QQQ は BBB 側にあり，m<nm < nm<n のときは QQQ は AAA 側にある
m=nm=nm=n のとき PPP は線分 ABABAB の中点，外分点 QQQ は存在しない（強いて言うなら無限遠点）

内分点，外分点の公式（座標）

$A(x_A,y_A)$ ， $B(x_B,y_B)$ のとき

線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の座標は $\left(\dfrac{nx_A+mx_B}{m+n},\dfrac{ny_A+my_B}{m+n}\right)$

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の座標は $\left(\dfrac{-nx_A+mx_B}{m-n},\dfrac{-ny_A+my_B}{m-n}\right)$

空間座標の場合は $z$ 座標が同じように加わるだけです。

内分点，外分点の公式（ベクトル）

$A$ の位置ベクトルを $\vec{a}$ ， $B$ の位置ベクトルを $\vec{b}$ とするとき，

線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の位置ベクトルは $\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の位置ベクトルは $\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$

内分点，外分点の公式（複素数平面）

複素数平面において， $A(z_A)$ ， $B(z_B)$ とするとき，

線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ を表す複素数は $\dfrac{nz_A+mz_B}{m+n}$

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ を表す複素数は $\dfrac{-nz_A+mz_B}{m-n}$

証明

座標版，ベクトル版，複素数平面版，それぞれ表現方法は異なりますが全て同じ公式です。証明も同じようにできます。ここではベクトルの言葉で書きます。

証明

内分，外分の公式の証明

内分点

$\vec{AP}=\dfrac{m}{m+n}\vec{AB}$ より

$\vec{p}=\vec{a}+\dfrac{m}{m+n}\vec{AB}$

であり，右辺を変形すると

$\vec{a}+\dfrac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a})\\ =\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$

となる。

外分点

$m > n$ のときを証明する（ $m < n$ のときも同様にできる）。

$\vec{AQ}=\dfrac{m}{m-n}\vec{AB}$ より

$\vec{q}=\vec{a}+\dfrac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a})$

であり，右辺を変形すると $\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$ となる。

内分点，外分点の公式はよく使うので丸暗記をオススメしますが，このように一瞬で導出できるので忘れても問題ありません。

同じ公式が四回も（座標，平面ベクトル，空間ベクトル，複素数平面）登場することで教科書の紙面を圧迫しています。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧

この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！