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グラフの平行移動の証明と例

更新日時 2021/03/07
グラフの平行移動の公式

関数のグラフを xx 軸方向に aayy 軸方向に bb 平行移動したいときは,
xxxax-a に変えて,yyyby-b に変えればよい。

グラフの平行移動の公式について,具体例・公式の証明など解説します。

目次
  • グラフの平行移動の例題

  • グラフの平行移動の公式は重要

  • グラフの平行移動の公式の証明

  • グラフの平行移動の様々な具体例

グラフの平行移動の例題

グラフの平行移動に関する例題です。

例題

y=2xy=2x のグラフを,xx 軸方向に 33yy 軸方向に 44 平行移動した関数を求めよ。

xxx3x-3 に変えて yyy4y-4 に変えればよいので,平行移動した関数は,

y4=2(x3)y-4=2(x-3)

となります。右辺を展開して整理すると,

y4=2x6y-4=2x-6

y=2x2y=2x-2

となります。

グラフの平行移動の公式は重要

  • グラフの平行移動の公式は頻出なので,丸覚えがおすすめです。

  • さらに,(証明は後ほど詳しく説明しますが)証明方法も非常に重要です。なぜ xx+ax→x+a ではなく xxax→x-a (マイナス符号がつく)となるのか,理由もきちんと理解しておきましょう。

グラフの平行移動の公式の証明

以下の「グラフの平行移動の公式」を証明します。

グラフの平行移動の公式

y=f(x)y=f(x) のグラフを xx 軸方向に aa, yy 軸方向に bb 平行移動させたグラフは

yb=f(xa)y-b=f(x-a)

証明の方針(3ステップ)
  1. y=f(x)y=f(x) 上の点 (x,y)(x,y) を「変換」した点を (X,Y)(X,Y) とおき,X,YX,Y をそれぞれ x,yx,y で表す。

  2. x,yx,y について解く。

  3. y=f(x)y=f(x) に代入して X,YX,Y の関係式を求める。

平行移動の公式の証明
  1. (x,y)(x,y) を平行移動して (X,Y)(X,Y) になったとする。平行移動という変換の定義より,
    X=x+a,Y=y+bX=x+a, Y=y+b

  2. x,yx,y について解く:
    x=Xa,y=Ybx=X-a, y=Y-b
    (ここでマイナスが登場!)

  3. y=f(x)y=f(x) に代入して X,YX,Y の関係式を求める:
    Yb=f(Xa)Y-b=f(X-a)

「証明の方針」がわかっていれば非常に簡単に導けます。より難しい変換(拡大縮小・対称移動,回転など)の場合にも使える非常に重要な考え方なので「証明の方針」は覚えておきましょう。

グラフの平行移動の様々な具体例

「平行移動」という言葉が明示的に使われていないものも含まれています。平行移動の構造を見つけたらこの公式を思い出しましょう。

一次関数の平行移動

傾きが pp(a,b)(a,b) を通る直線の方程式は(原点を通る傾き pp の直線を平行移動させたものなので),

yb=p(xa)y-b=p(x-a)

となります。

二次関数の平行移動

y=ax2y=ax^2 を平行移動させたグラフで頂点が (p,q)(p,q) となるものは,

yq=a(xp)2y-q=a(x-p)^2

となります。 xx 軸方向に ppyy 軸方向に qq 平行移動です。

円の平行移動

中心 (a,b)(a,b),半径 rr の円の方程式は,

(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

となります。 xx 軸方向に aayy 軸方向に bb 平行移動です。

その他の関数

分数関数,無理関数,楕円,双曲線などのグラフを描くときも, 「原点を中心にした基本的なものを平行移動させる」と考えればスッキリすることが多いです。

例.一次分数関数のグラフと漸近線

平行移動と拡大を合わせるとかなり多くのグラフを同一視できます。

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