分散の意味と2通りの求め方・計算例

つまり，分散は以下の3ステップで計算できます。

1. 「平均 $\mu$」を計算する
2. 「平均からの差の二乗 $(x_i-\mu)^2$」を計算する
3. その結果の平均を計算する

具体例で分散を計算してみましょう。

「5人のテストの点数(10点満点)」について，以下の2つの状況を考えてみます。

• 状況1： テストの点数がそれぞれ $(5,6,7,7,10)$
• 状況2： テストの点数がそれぞれ $(6,7,7,7,8)$

どちらも平均点を計算してみると $7$ 点になります。しかし，

• 状況1は「点数が比較的バラバラ」
• 状況2は「全員が平均点に近い」

と言えます。このように，平均点が同じでも「データがどれくらいバラついているか」によって，状況が変わります。分散は「データがどれくらいバラついているか」を数値で表したものです。実際，状況1の分散は $2.8$ で状況2の分散は $0.4$ になります。

• 分散は $\sigma^2$ という記号で表されることが多いです。

• 分散は英語で Variance なので，確率変数 $X$ の分散を $V[X]$ や $\mathrm{Var}[X]$ で表すことが多いです。

• 分散は $(X-\mu)^2$ の期待値なので $E[(X-\mu)^2]$ と表すこともあります。分散は，平均まわりの二次モーメントと呼ばれることもあります。

• 分散の式に登場する $(x_i-\mu)$ のこと（平均との差のこと）を偏差と言います。

最初の例題について，こちらの方法で計算してみます。

さっきと同じ答えになりました！

分散の計算方法を2つ紹介しました：

• 方法1: 分散の定義から計算。つまり「平均からの差の二乗」の平均
• 方法2. 「二乗の平均」と「平均の二乗」の差，という公式で計算。

今回の例では，どちらの計算方法でも手間はあまり変わりませんが，平均値がキリの悪い数のときは2番目の方法が楽なことも多いです。少なくとも検算にはなります（エクセルなどの関数で計算するなら関係ありませんが）。

分散が 「二乗の平均」 と 「平均の二乗」 の差で計算できることを証明しておきます。

$x_i$ などの値は直接用いずに，期待値のまま計算していきます。

ちなみにこの定理と証明について，似たようなものが共分散にも存在します。→共分散の意味と簡単な求め方

分散はデータのバラつき具合を表す指標ですが，なぜ $$\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2$$ という式で定義されるのでしょうか？

理由

データ $x_i$ が平均 $\mu$ から離れているほど $(x_i-\mu)^2$ は大きくなるので，上の式で分散を定義すれば 「バラつきが大きいほど分散が大きくなる」と言えます。つまり，データのバラつき具合を表す指標になります。

バラつき具合を表す指標は他にもある

分散の定義は偏差の二乗和の平均ですが「二乗」であることに絶対的な意味はありません。例えば，

$$\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n|x_i-\mu|$$

という式で定義される絶対値平均誤差という指標もあります（絶対値をつけないと必ず0になり意味のある指標にはなりません）。

ただし，多くの確率分布に対して分散の計算は楽（綺麗な形で求まる）なので分散が広く使われています。

また，単位の次元をそろえるために 分散の平方根を取った標準偏差 $\sigma$ が用いられることも多いです：

$$\sigma= \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)^2}$$

参考：標準偏差の意味と分散との違い

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