関数の連続性と微分可能性の意味と関係

更新 2021/03/07

連続，微分可能の大雑把な意味

を解説します。

連続性，微分可能性の定義

連続とは大雑把には「グラフがつながっていること」です。きちんと言うと以下のようになります。

連続性の定義

以下の条件を満たすとき，関数 $f(x)$ は $x=a$ で連続と言う：

次は「微分可能」の定義を説明します。微分可能とは，大雑把には「グラフが滑らか」という意味です。

微分可能性の定義

以下の条件を満たすとき，関数 $f(x)$ は $x=a$ で微分可能と言う：

上記の極限値を $x=a$ における微分係数と呼び， $f'(a)$ と書きます。

「微分係数が存在する」→「 $x=a$ での接線の傾きが1通りに定まる」→ 「グラフが滑らか」と解釈できます。

以上の定義は $x=a$ での連続性，微分可能性と言うローカルなものでした。ローカルな定義を用いてグローバルな連続性，微分可能性も定義されます：

注：定義域全体で連続な関数を単に「連続関数」，定義域全体で微分可能な関数を単に「微分可能な関数」と言うことが多いです。

以下ではローカルな連続性と微分可能性の関係を考察します。

重要な定理1

関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能なら $x=a$ で連続。

大雑把には「グラフが滑らかならつながっている」という意味です。

証明

$x=a$ で微分可能

→ $\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ が存在する（有限の値となる）

→ $\displaystyle\lim_{h\to 0}\{f(a+h)-f(a)\}=0$

→ $\displaystyle\lim_{h\to 0}f(a+h)=f(a)$

→ $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ が存在してその値が $f(a)$ に等しい

→ $x=a$ で連続

重要な定理2

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続でも $x=a$ で微分可能とは限らない。

大雑把には「グラフがつながっていても滑らかとは限らない」という意味です。例としては絶対値関数が非常に有名です。

例題

$y=|x|$ は $x=0$ で連続だが微分可能でないことを確認せよ。

$\displaystyle\lim_{h\to 0}f(h)=0=f(0)$ なので $x=0$ で連続
$\dfrac{f(h)-f(0)}{h}=\dfrac{|h|}{h}$ ， $h$ が右から $0$ に近づく場合は $1$ ，左から $0$ に近づく場合は $-1$ となるので極限値は存在しない。つまり微分不可能。

関連する話題として，関数の右極限，左極限と連続性があります。

連続関数でありながらいたるところ微分不可能であるような，直感的に想像しがたい複雑な関数もあります（ワイエルシュトラス関数）。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！