増減表の書き方

ステップ1: $f'(x)$ の符号を調べる。

$f'(x)=3x^2-3\\ =3(x^2-1)\\ =3(x+1)(x-1)$

よって，$f'(x)=0$ の解は $x=\pm 1$

したがって，

• $x<-1$，$1<x$ のとき $f'(x) > 0$
• $-1<x<1$ のとき $f'(x) < 0$

ステップ2: 増減表を書く。

まずはステップ1の情報をもとに $f'(x)$ の情報を書く（1行目と2行目）。

最後に，$f'(x)$ の情報をもとに $f(x)$ の行を埋めていく（3行目）。

$x=-1$ で極大値 $2$，$x=1$ で極小値 $-2$ を取ることが分かる。

ステップ2（改）: $f''(x)$ の符号を調べる。

$f'(x)=3x^2-3$ であったので，$f''(x)=6x$

よって，$f''(x)=0$ の解は $x=0$

また，

$x<0$ のとき $f''(x) < 0$

$x>0$ のとき $f''(x) > 0$

ステップ3: 増減表を書く。

まずはステップ1の情報をもとに $f'(x)$ の情報を書く（1行目と2行目）。

次にステップ2（改）の情報をもとに $f''(x)$ の情報を書く（3行目）。

最後に2行目と3行目の符号をもとに4行目を書く。

ステップ4: グラフを描く。

ステップ3で得た増減表の $f(x)$ の行を参考にすると，グラフの概形は図のようになる。

$x < 0$ のとき上に凸，$x > 0$ のとき下に凸，変曲点は $(0,0)$ であることが分かる。