二次不等式の解き方(2通りの考え方)と例題
二次不等式とは, というような,二次の項を含む不等式のことです。
この記事では,
- グラフを描くことで二次不等式を解く方法
- 因数分解をすることで二次不等式を解く方法
をそれぞれ解説します。二つとも結局やることは同じになりますが,考え方は違います!
1.グラフ書いて二次不等式を解く
2.因数分解して二次不等式を解く
グラフか因数分解か
二次不等式のもう少し難しい例題
二次方程式の解が存在しない場合
1.グラフ書いて二次不等式を解く
二次不等式 を解け。
を解きたい
が正となる を求めたい
という二次関数のグラフが 軸より上側にあるような を求めたい
というわけで, のグラフの概形を描く。これは下に凸な放物線。
軸との交点の座標が必要になるので を解く。
より となる。
よって,図より答えは
このように, 二次不等式は,二次関数のグラフを描くことで解けます。
2.因数分解して二次不等式を解く
さきほどの二次不等式 を,因数分解で解いてみましょう。
左辺を因数分解すると となる。
の符号は,
- のときマイナス×マイナスでプラス
- のときプラス×マイナスでマイナス
- のときプラス×プラスでプラス
よって, がプラスになる部分が答えなので,
このように, 二次不等式は,因数分解することで解けます。
グラフか因数分解か
二次不等式を解く際の考え方を2つ紹介しました。
考え方1「グラフを描いて 軸より上側(下側)にある部分を採用」
考え方2「因数分解して符号を直接調べる」
多くの教科書では考え方1を採用しています。
二次不等式の場合,どちらも結局やることとしては同じ(方程式 を解くことになる)です。しかし,より複雑な不等式を解く際には,考え方2も重要なので理解しておいてください!
二次不等式のもう少し難しい例題
二次不等式 を解け。
という二次関数のグラフが 軸より下側( 軸上もOK)にあるような を求めたい。
というわけで, のグラフの概形を描く。
軸との交点の座標が必要になるので を解く。
となる。
よって,図より答えは
左辺を因数分解したいが簡単にできなさそう。そこで因数定理を使う。
左辺を因数分解するために を解く。
解の公式より が求まる。
よって,左辺は と因数分解できる。この符号を調べればよい。
- のときマイナス×マイナスでプラス
- のときプラス×マイナスでマイナス
- のときプラス×プラスでプラス
よって答えは つまり
二次方程式の解が存在しない場合
二次方程式 に実数解が存在しない場合は(グラフの概形を描いてもよいですが)平方完成すればOKです!
二次不等式 を解け。
左辺は となり,任意の実数 に対して不等式は成立する。
二次不等式 を解け。
左辺は となり,任意の実数 に対して不等式は成立しない。つまり解なし。
二次不等式も嫌いではありませんが,私は多変数の対称な不等式が好きです!