二次不等式の解き方(2通りの考え方)と例題

更新日時 2022/04/08

二次不等式とは,x24x+3>0x^2-4x+3 > 0 というような,二次の項を含む不等式のことです。

この記事では,

  • グラフを描くことで二次不等式を解く方法
  • 因数分解をすることで二次不等式を解く方法

をそれぞれ解説します。二つとも結局やることは同じになりますが,考え方は違います!

目次
  • 1.グラフ書いて二次不等式を解く

  • 2.因数分解して二次不等式を解く

  • グラフか因数分解か

  • 二次不等式のもう少し難しい例題

  • 二次方程式の解が存在しない場合

1.グラフ書いて二次不等式を解く

例題1

二次不等式 x24x+3>0x^2-4x+3 > 0 を解け。

解答

x24x+3>0x^2-4x+3 > 0 を解きたい

y=x24x+3\to y=x^2-4x+3 が正となる xx を求めたい

y=x24x+3\to y=x^2-4x+3 という二次関数のグラフが xx 軸より上側にあるような xx を求めたい

二次不等式の例題

というわけで,y=x24x+3y=x^2-4x+3 のグラフの概形を描く。これは下に凸な放物線。

xx 軸との交点の座標が必要になるので x24x+3=0x^2-4x+3=0 を解く。

(x1)(x3)=0(x-1)(x-3)=0 より x=1,3x=1,3 となる。

よって,図より答えは x<1,3<xx < 1,3 < x

このように, 二次不等式は,二次関数のグラフを描くことで解けます。

2.因数分解して二次不等式を解く

さきほどの二次不等式 x24x+3>0x^2-4x+3 > 0 を,因数分解で解いてみましょう。

解答

左辺を因数分解すると (x1)(x3)(x-1)(x-3) となる。

(x1)(x3)(x-1)(x-3) の符号は,

  • x<1x < 1 のときマイナス×マイナスでプラス
  • 1<x<31 < x < 3 のときプラス×マイナスでマイナス
  • 3<x3 < x のときプラス×プラスでプラス

よって,(x1)(x3)(x-1)(x-3) がプラスになる部分が答えなので,x<1,3<xx < 1, 3 < x

このように, 二次不等式は,因数分解することで解けます。

グラフか因数分解か

二次不等式を解く際の考え方を2つ紹介しました。

考え方1「グラフを描いて yy 軸より上側(下側)にある部分を採用」

考え方2「因数分解して符号を直接調べる」

多くの教科書では考え方1を採用しています。

二次不等式の場合,どちらも結局やることとしては同じ(方程式 f(x)=0f(x)=0 を解くことになる)です。しかし,より複雑な不等式を解く際には,考え方2も重要なので理解しておいてください!

二次不等式のもう少し難しい例題

例題2

二次不等式 x26x+70x^2-6x+7\leqq 0 を解け。

グラフを用いた解答

y=x26x+7y=x^2-6x+7 という二次関数のグラフが xx 軸より下側(xx 軸上もOK)にあるような xx を求めたい。

二次不等式の例題2

というわけで,y=x26x+7y=x^2-6x+7 のグラフの概形を描く。

xx 軸との交点の座標が必要になるので x26x+7=0x^2-6x+7=0 を解く。

x=3±2x=3\pm\sqrt{2} となる。

よって,図より答えは 32x3+23-\sqrt{2} \leqq x \leqq 3+\sqrt{2}

因数分解を用いた解答

左辺を因数分解したいが簡単にできなさそう。そこで因数定理を使う。

左辺を因数分解するために x26x+7=0x^2-6x+7=0 を解く。

解の公式より α=32,β=3+2\alpha=3-\sqrt{2},\beta=3+\sqrt{2} が求まる。

よって,左辺は (xα)(xβ)(x-\alpha)(x-\beta) と因数分解できる。この符号を調べればよい。

  • x<αx < \alpha のときマイナス×マイナスでプラス
  • α<x<β\alpha < x <\beta のときプラス×マイナスでマイナス
  • β<x\beta < x のときプラス×プラスでプラス

よって答えは αxβ\alpha \leqq x \leqq \beta つまり 32x3+23-\sqrt{2} \leqq x\leqq 3+\sqrt{2}

二次方程式の解が存在しない場合

二次方程式 f(x)=0f(x)=0 に実数解が存在しない場合は(グラフの概形を描いてもよいですが)平方完成すればOKです!

例題3

二次不等式 x2+2x+40x^2+2x+4\geqq 0 を解け。

解答

左辺は (x+1)2+3(x+1)^2+3 となり,任意の実数 xx に対して不等式は成立する。

例題4

二次不等式 2x28x+902x^2-8x+9\leqq 0 を解け。

解答

左辺は 2(x2)2+12(x-2)^2+1 となり,任意の実数 xx に対して不等式は成立しない。つまり解なし。

二次不等式も嫌いではありませんが,私は多変数の対称な不等式が好きです!

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