二次不等式の解き方（２通りの考え方）と例題

$x^2-4x+3 > 0$ を解きたい

$\to y=x^2-4x+3$ が正となる $x$ を求めたい

$\to y=x^2-4x+3$ という二次関数のグラフが $x$ 軸より上側にあるような $x$ を求めたい

というわけで，$y=x^2-4x+3$ のグラフの概形を描く。これは下に凸な放物線。

$x$ 軸との交点の座標が必要になるので $x^2-4x+3=0$ を解く。

$(x-1)(x-3)=0$ より $x=1,3$ となる。

よって，図より答えは $x < 1,3 < x$

左辺を因数分解すると $(x-1)(x-3)$ となる。

$(x-1)(x-3)$ の符号は，

• $x < 1$ のときマイナス×マイナスでプラス
• $1 < x < 3$ のときプラス×マイナスでマイナス
• $3 < x$ のときプラス×プラスでプラス

よって，$(x-1)(x-3)$ がプラスになる部分が答えなので，$x < 1, 3 < x$

$y=x^2-6x+7$ という二次関数のグラフが $x$ 軸より下側（$x$ 軸上もOK）にあるような $x$ を求めたい。

というわけで，$y=x^2-6x+7$ のグラフの概形を描く。

$x$ 軸との交点の座標が必要になるので $x^2-6x+7=0$ を解く。

$x=3\pm\sqrt{2}$ となる。

よって，図より答えは $3-\sqrt{2} \leqq x \leqq 3+\sqrt{2}$

左辺を因数分解したいが簡単にできなさそう。そこで因数定理を使う。

左辺を因数分解するために $x^2-6x+7=0$ を解く。

解の公式より $\alpha=3-\sqrt{2},\beta=3+\sqrt{2}$ が求まる。

よって，左辺は $(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できる。この符号を調べればよい。

• $x < \alpha$ のときマイナス×マイナスでプラス
• $\alpha < x <\beta$ のときプラス×マイナスでマイナス
• $\beta < x$ のときプラス×プラスでプラス

よって答えは $\alpha \leqq x \leqq \beta$ つまり $3-\sqrt{2} \leqq x\leqq 3+\sqrt{2}$

左辺は $(x+1)^2+3$ となり，任意の実数 $x$ に対して不等式は成立する。

左辺は $2(x-2)^2+1$ となり，任意の実数 $x$ に対して不等式は成立しない。つまり解なし。