2倍角の公式とその証明

sinの加法定理：

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

において $\alpha=\beta=\theta$ とおくと，

$$\begin{aligned} &\sin 2\theta\\ &=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta\\ &=2\sin\theta\cos\theta \end{aligned}$$

つまり，sinの2倍角の公式 $$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$ を得る。

cosの加法定理： $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

において $\alpha=\beta=\theta$ とおくと，

$$\begin{aligned} &\cos 2\theta\\ &=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta\\ &=\cos^2\theta-\sin^2\theta \end{aligned}$$

つまり，cosの2倍角の公式 $$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$$ を得る。

さらにこの式において，三角関数の相互関係（詳しくは三角関数の相互関係とその証明をご覧ください）のうち，$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ を使って $\sin^2\theta$ を消すと二つ目の式：

$$\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$$

が得られ，同様に $\cos^2\theta$ を消すと三つ目の式：

$$\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$$

を得る。

tanの加法定理： $$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$

において $\alpha=\beta=\theta$ とおくと，

$$\tan 2\theta=\dfrac{\tan\theta+\tan\theta}{1-\tan\theta\tan\theta}=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$$

つまり，tanの2倍角の公式 $$\tan 2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$$ を得る。

$\sin$ の2倍角公式を使うと，方程式は $$2\sin\theta\cos\theta=\sin\theta$$ となる。よって，$\sin\theta=0$ または $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ である。よって，求める解は $\theta=0,\dfrac{\pi}{3}$ である。

cosについての2倍角の公式を用いて，

$$\begin{aligned} \int^{\pi}_{0} \cos^2{\theta}d\theta &= \int^{\pi}_{0} \dfrac{1+\cos{2\theta}}{2}d\theta\\ &=\left[ \dfrac{1}{2} \theta + \dfrac{1}{4} \sin{2\theta} \right]^{\pi}_{0}\\ &=\dfrac{\pi}{2} \end{aligned}$$

図において $\cos 2\theta=\dfrac{c}{a}$，$\cos \theta=\dfrac{c}{b}$ より証明すべき式は $$\dfrac{c}{a}=\dfrac{2c^2}{b^2}-1$$

つまり $$b^2c=2ac^2-ab^2$$

ここで，三角形 $\mathrm{AED}$ と $\mathrm{ABD}$ は合同なので， $$\mathrm{ED} = \mathrm{BD} = \sqrt{b^2-c^2}$$

これと，三角形 $\mathrm{CED}$ と $\mathrm{CBA}$ は相似なので， $$a-c:\sqrt{b^2-c^2}=\sqrt{a^2-c^2}:c$$

よって， $$(a-c)c=\sqrt{a^2-c^2}\sqrt{b^2-c^2}$$

両辺二乗して整理していく：

$$\begin{aligned} (a-c)^2 c^2 &=(a^2-c^2)(b^2-c^2)\\ (a-c) c^2&=(a+c)(b^2-c^2)\\ ac^2&=ab^2-ac^2+b^2c\\ b^2 c&=2ac^2-ab^2 \end{aligned}$$

となり目標の式を得る。