正弦定理の意味と3通りの証明・頻出の応用例

正弦定理： $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ に条件を代入すると， $\dfrac{4}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{b}{\sin 60^{\circ}}$

ここで，$\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を使うと，

$4\sqrt{2}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}b$

よって，$b=4\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$

正弦定理より，$\dfrac{a}{\sin A}=2R$

よって，$\dfrac{4}{\sin 45^{\circ}}=2R$

$R=\dfrac{1}{2}\times 4\div\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$

$C$ から $AB$ に引いた垂線の足を $H$ とおく。 $\sin$ の定義より，

• $\sin A=\dfrac{CH}{b}$
• $\sin B=\dfrac{CH}{a}$

よって，$CH$ を2通りで表すと，$b\sin A=CH=a\sin B$

両辺を $\sin A\sin B$ で割ると $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$

• $A<90^{\circ}$ の場合

$BA'$ が外接円の直径となるような $A'$ を取る。

円周角の定理より，$\angle BAC=\angle BA'C$ なので，$\sin A=\sin A'=\dfrac{a} {2R}$ となる。つまり $\dfrac{a}{\sin A}=2R$

• $A=90^{\circ}$ の場合

$\sin A=1$ である。また，$BC$ は外接円の直径なので $a=2R$ となる。つまり，$\dfrac{a}{\sin A}=2R$

• $A>90^{\circ}$ の場合

$BA'$ が外接円の直径となるような $A'$ を取る。円に内接する四角形の性質より，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle BA'C$ なので，$\sin A=\sin A'=\dfrac{a} {2R}$ となる。つまり $\dfrac{a}{\sin A}=2R$

円周角の定理より，

$\angle A=\dfrac{1}{2}\angle BOC=\angle MOC$

よって，

$\sin A=\sin\angle MOC=\dfrac{MC}{CO}$

ここで，$CO=R$（外接円の半径），$MC=\dfrac{a}{2}$ （$M$ は $BC$ の中点）なので，

$\sin A=\dfrac{a}{2R}$

よって，$\dfrac{a}{\sin A}=2R$

向かい合う角の和が $180^{\circ}$ なので，四角形 $ABCD$ は円に内接する。また，$\angle B=90^{\circ}$ なので $AC$ がその円の直径 $2R$ となる。よって，正弦定理より， $\dfrac{BD}{\sin \angle BAD}=2R=AC$