正弦定理の意味と6通りの証明・頻出の応用例

正弦定理： $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ に条件を代入すると， $\dfrac{4}{\sin 45^{\circ}}=\dfrac{b}{\sin 60^{\circ}}$

ここで，$\sin 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を使うと， $4\sqrt{2}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}b$

よって，$b=4\sqrt{2}\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$

正弦定理より，$\dfrac{a}{\sin A}=2R$

よって，$\dfrac{4}{\sin 45^{\circ}}=2R$

ゆえに $$R=\dfrac{1}{2}\times 4\div\dfrac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$

鋭角三角形における場合を示す。

$C$ から $AB$ に引いた垂線の足を $H$ とおく。 $\sin$ の定義より，

• $\sin A=\dfrac{CH}{b}$
• $\sin B=\dfrac{CH}{a}$

よって，$CH$ を2通りの方法で表すと，$b\sin A=CH=a\sin B$

両辺を $\sin A\sin B$ で割ると $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ を得る。

同様に，$A$ から $BC$ に引いた垂線の長さを考えることで，

$$\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$$

も導かれる。

$$\begin{aligned} \dfrac{a^2}{\sin^2{A}} &= \dfrac{a^2}{1-\cos^2{A}} \\ &= \dfrac{a^2}{1-\left(\frac{b^2 + c^2 -a^2}{2bc}\right)^{2}}\\ &=\dfrac{4a^2b^2c^2}{4b^2c^2-\left(b^2+c^2 - a^2 \right)^{2}} \\ &= \dfrac{4a^2b^2c^2}{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \end{aligned}$$

これは，$a,b,c$ に関して対称であるので（あるいは同様に計算すると），

$$\dfrac{b^2}{\sin^2 B},\dfrac{c^2}{\sin^2C}$$

と等しいことがわかる。

三角形 $ABC$ の面積 $S$ は，

$$S = \dfrac{1}{2} bc \sin{A} = \dfrac{1}{2} ca \sin{B} = \dfrac{1}{2} ab \sin{C}$$

である。（左辺）＝（中辺）より，

$$\dfrac{b}{\sin{B}} = \dfrac{a}{\sin{A}}$$

また（中辺）＝（右辺）より，

$$\dfrac{c}{\sin{C}} = \dfrac{b}{\sin{B}}$$

これより，

$$\dfrac{a}{\sin{A}} = \dfrac{b}{\sin{B}} = \dfrac{c}{\sin{C}}$$

を得る。

• $A<90^{\circ}$ の場合

$BA'$ が外接円の直径となるような $A'$ を取る。

円周角の定理より，$\angle BAC=\angle BA'C$ なので，$\sin A=\sin A'=\dfrac{a} {2R}$ となる。つまり $\dfrac{a}{\sin A}=2R$

• $A=90^{\circ}$ の場合

$\sin A=1$ である。また，$BC$ は外接円の直径なので $a=2R$ となる。つまり，$\dfrac{a}{\sin A}=2R$

• $A>90^{\circ}$ の場合

$BA'$ が外接円の直径となるような $A'$ を取る。円に内接する四角形の性質より，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle BA'C$ なので，$\sin A=\sin A'=\dfrac{a} {2R}$ となる。つまり $\dfrac{a}{\sin A}=2R$

円周角の定理より，

$$\angle A=\dfrac{1}{2}\angle BOC=\angle MOC$$

よって，

$$\sin A=\sin\angle MOC=\dfrac{MC}{CO}$$

ここで，$CO=R$（外接円の半径），$MC=\dfrac{a}{2}$ （$M$ は $BC$ の中点）なので，

$\sin A=\dfrac{a}{2R}$

よって，$\dfrac{a}{\sin A}=2R$

方針1：外接円の中心を原点にとる

$\angle{A}$ が鋭角の場合のみ示す。下図のようにxy座標系を取る。三角形 $ABC$ の外接円の中心が原点である。また，点 $B(R,0)$ としても一般性を失わない。

辺 $BC$ の長さについて，

$a^2 = R^2(1-\cos{2A})^2 + R^2 \sin^2{2A} \\ = R^2 (2-2\cos{2A}) \\ = 2R^2(1-\cos{2A}) \\ = 4R^2 \sin^2{A}$

よって，

$\dfrac{a}{\sin{A}} = 2R$

方針2：三角形の1点を原点にとる

$\angle{A}$ が鋭角の場合のみ示す。下図のように，三角形 $ABC$ の点 $A$ を原点としたxy座標を考える。

三角形 $ABC$ の外接円の中心 $O$ の座標を求める。

線分 $AC$ の傾きは $\tan{A}$ であり，中点 $D$ の座標は $(\dfrac{1}{2}b\cos{A},\dfrac{1}{2}c\sin{A})$ である。

直線 $DO$ は，線分 $AC$ の垂直二等分線であるから，傾きは $-\dfrac{1}{\tan{A}}$ であり，点 $D$ を通る。ゆえに直線 $DO$ の式は

$$y = -\dfrac{1}{\tan{A}} (x-\dfrac{1}{2}b\cos{A}) + \dfrac{1}{2}c\sin{A}$$

点 $O$ は直線 $x=\dfrac{c}{2}$ 上にあるから，y座標は

$$\begin{aligned} y &= -\dfrac{1}{\tan{A}} (\dfrac{c}{2}-\dfrac{1}{2}b\cos{A}) + \dfrac{1}{2}c\sin{A}\\ &= -\dfrac{c}{2} \dfrac{1}{\tan{A}} + \dfrac{b}{2} \dfrac{\cos{A}}{\tan{A}} + \dfrac{1}{2} b\sin{A} \\ &= \dfrac{b-c\cos{A}}{2\sin^2{A}} \end{aligned}$$

線分 $AO$ の長さは $R$ であるから，

$$\begin{aligned} R^2 &= \dfrac{c^2}{4} + \dfrac{(b-c\cos{A})^2}{4\sin^2{A}}\\ &= \dfrac{b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}}{4\sin^2{A}} \end{aligned}$$

ここで，余弦定理より $a^2 = b^2 + c^2 -2bc\cos{A}$ であったから，

$$R^2 =\dfrac{a^2}{4\sin^2{A}}$$

ゆえに

$$\dfrac{a}{\sin{A}} = 2R$$

が得られる。

向かい合う角の和が $180^{\circ}$ なので，四角形 $ABCD$ は円に内接する。また，$\angle B=90^{\circ}$ なので $AC$ がその円の直径 $2R$ となる。よって，正弦定理より， $\dfrac{BD}{\sin \angle BAD}=2R=AC$