余弦定理とその証明

余弦定理より

$a^2=3^2+4^2-2\times 3\times 4\times\cos 60^{\circ}\\ =9+16-12\\ =13$

$a=\sqrt{13}$

第一余弦定理：$a=b\cos C+c\cos B$ より，

$a^2=a\times a\\ =a(b\cos C+c\cos B)\\ =b\times a\cos C+c\times a\cos B$

この第一項に，第一余弦定理 $b=a\cos C+c\cos A$ を使い，第二項に第一余弦定理 $c=a\cos B+b\cos A$ を使うと

$a^2=b(b-c\cos A)+c(c-b\cos A)\\ =b^2+c^2-2bc\cos A$

一般の三角形に対して $b^2 + c^2 - 2bc \cos A = a^2$ を示す。

第一余弦定理より $a = b \cos C + c \cos B$ が成り立つ。この両辺を2乗すると， $$\begin{aligned} a^2 &= (b \cos C + c \cos B)^2\\ &= b^2 \cos^2 C + c^2 \cos^2 B + 2 bc \cos B \cos C \quad \cdots \ast \end{aligned}$$ が得られる。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると， $$\begin{aligned} \ast &= b^2 (1 - \sin^2 C) + c^2 (1- \sin^2 B) + 2 bc \cos B \cos C\\ &= b^2 + c^2 + 2 bc \cos B \cos C - b^2 \sin^2 C - c^2 \sin^2 B + 2 bc (\sin B \sin C - \sin B \sin C)\\ &= b^2 + c^2 + 2 bc \cos B \cos C - 2bc \sin B \sin C - b^2 \sin^2 C - c^2 \sin^2 B + 2bc \sin B \sin C\\ &= b^2 + c^2 + 2 bc (\cos B \cos C - \sin B \sin C) - (b \sin C - c \sin B)^2 \quad \cdots \ast\ast \end{aligned}$$ と変形できる。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ をおくと， $$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2} ab \sin C\\ &= \dfrac{1}{2} ac \sin B \end{aligned}$$ である。こうして $b \sin C = c \sin B$ を得る。

また，加法定理を用いることで $$\cos B \cos C - \sin B \sin C = \cos (B+C)$$ となる。$A,B,C$ は三角形の内角であったため，$A+B+C+ = \pi$ である。ゆえに $\cos (B+C) = \cos (\pi -A) = -\cos A$ である。

上記をまとめると， $$\begin{aligned} \ast \ast &= b^2 + c^2 + 2bc \cos (B+C)\\ &= b^2 + c^2 +2bc \cos (\pi - A)\\ &= b^2+ c^2 - 2bc \cos A \end{aligned}$$

ベクトルを用いて証明することもできます。詳しくはベクトルの内積を用いた余弦定理の証明をどうぞ。