余弦定理とその証明

余弦定理より

$$\begin{aligned} a^2 &= 3^2+4^2-2\times 3\times 4\times\cos 60^{\circ}\\ &= 9+16-12\\ &= 13 \end{aligned}$$

$a=\sqrt{13}$

余弦定理より

$$\cos C=\dfrac{16+9-13}{2\times 4\times 3}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}$$

よって $C=60^{\circ}$

$\mathrm{A}$ から $\mathrm{BC}$ に垂線 $\mathrm{AH}$ をおろす。$B\leqq 90^{\circ}$ の場合を考える。

$\mathrm{BH}=c\cos B$

$\mathrm{CH}=a-c\cos B$

三角形 $\mathrm{AHB}$ と $\mathrm{AHC}$ に三平方の定理を使うと，

$$\begin{aligned} \mathrm{AH}^2 &= \mathrm{AB}^2-\mathrm{BH}^2\\ &= c^2-(c\cos B)^2\\ \mathrm{AH}^2 &= \mathrm{AC}^2-\mathrm{CH}^2\\ &= b^2-(a-c\cos B)^2 \end{aligned}$$

上の2つの式から

$$c^2-(c\cos B)^2=b^2-(a-c\cos B)^2$$

これを整理すると

$$a^2+c^2-2ac\cos B=b^2$$

となり余弦定理を得る。

$B> 90^{\circ}$ の場合も図が少し変わるがほぼ同様。

第一余弦定理：$a=b\cos C+c\cos B$ より，

$$\begin{aligned} a^2 &= a\times a\\ &= a(b\cos C+c\cos B)\\ &= b\times a\cos C+c\times a\cos B \end{aligned}$$

第一項に第一余弦定理 $b=a\cos C+c\cos A$ を使い，
第二項に第一余弦定理 $c=a\cos B+b\cos A$ を使うと

$$\begin{aligned} a^2 &= b(b-c\cos A)+c(c-b\cos A)\\ &= b^2+c^2-2bc\cos A \end{aligned}$$

一般の三角形に対して $b^2 + c^2 - 2bc \cos A = a^2$ を示す。

第一余弦定理より $a = b \cos C + c \cos B$ が成り立つ。この両辺を2乗すると， $$\begin{aligned} a^2 &= (b \cos C + c \cos B)^2\\ &= b^2 \cos^2 C + c^2 \cos^2 B + 2 bc \cos B \cos C \quad \cdots \ast \end{aligned}$$ が得られる。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いると， $$\begin{aligned} \ast &= b^2 (1 - \sin^2 C) + c^2 (1- \sin^2 B)\\ &\quad\quad + 2 bc \cos B \cos C\\ &= b^2 + c^2 + 2 bc \cos B \cos C\\ &\quad\quad - b^2 \sin^2 C - c^2 \sin^2 B\\ &\quad\quad\quad\quad + 2 bc (\sin B \sin C - \sin B \sin C)\\ &= b^2 + c^2 + 2 bc \cos B \cos C - 2bc \sin B \sin C\\ &\quad\quad - b^2 \sin^2 C - c^2 \sin^2 B + 2bc \sin B \sin C\\ &= b^2 + c^2 - (b \sin C - c \sin B)^2\\ &\quad\quad +2 bc (\cos B \cos C - \sin B \sin C) &\cdots \ast\ast \end{aligned}$$ と変形できる。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ をおくと， $$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2} ab \sin C\\ &= \dfrac{1}{2} ac \sin B \end{aligned}$$ である。こうして $b \sin C = c \sin B$ を得る。

また，加法定理を用いることで $$\cos B \cos C - \sin B \sin C = \cos (B+C)$$ となる。$A,B,C$ は三角形の内角であったため，$A+B+C = \pi$ である。ゆえに $\cos (B+C) = \cos (\pi -A) = -\cos A$ である。

上記をまとめると， $$\begin{aligned} \ast \ast &= b^2 + c^2 + 2bc \cos (B+C)\\ &= b^2 + c^2 +2bc \cos (\pi - A)\\ &= b^2+ c^2 - 2bc \cos A \end{aligned}$$

ベクトルを用いて証明することもできます。詳しくはベクトルの内積を用いた余弦定理の証明をどうぞ。