余弦定理とその証明

$\angle \mathrm{A},\angle \mathrm{B},\angle \mathrm{C}$ の角の大きさを順に $A,B,C$ とおく。

一般の三角形に対して $b^2 + c^2 - 2bc \cos A = a^2$ を示せばよい。（他の辺と角に対しては，頂点を $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{A}$ と入れ替えれば良い。）

第一余弦定理より $a = b \cos C + c \cos B$ が成り立つ。この両辺を2乗すると， $$\begin{aligned} a^2 &= (b \cos C + c \cos B)^2\\ &= b^2 \cos^2 C + c^2 \cos^2 B + 2 bc \cos B \cos C \quad \cdots \ast \end{aligned}$$ が得られる。

一般の角 $\theta$ に対して $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ であった。これを用いることで， $$\begin{aligned} \ast &= b^2 (1 - \sin^2 C) + c^2 (1- \sin^2 B) + 2 bc \cos B \cos C\\ &= b^2 + c^2 + 2 bc \cos B \cos C - b^2 \sin^2 C - c^2 \sin^2 B + 2 bc (\sin B \sin C - \sin B \sin C)\\ &= b^2 + c^2 + 2 bc \cos B \cos C - 2bc \sin B \sin C - b^2 \sin^2 C - c^2 \sin^2 B + 2bc \sin B \sin C\\ &= b^2 + c^2 + 2 bc (cos B \cos C - \sin B \sin C) - (b \sin C - c \sin B)^2 \quad \cdots \ast\ast \end{aligned}$$ と変形できる。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を $S$ をおく。このとき $$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2} ab \sin C\\ &= \dfrac{1}{2} ac \sin B \end{aligned}$$ である。こうして $b \sin C = c \sin B$ を得る。

また，加法定理を用いることで $$cos B \cos C - \sin B \sin C = \cos (B+C)$$ となる。$A,B,C$ は三角形の内角であったため，$A+B+C+ = \pi$ である。ゆえに $\cos (B+C) = \cos (\pi -A) = -\cos A$ である。

上記をまとめることで $$\begin{aligned} \ast \ast &= b^2 + c^2 + 2bc \cos (B+C)\\ &= b^2 + c^2 +2bc \cos (\pi - A)\\ &= b^2+ c^2 - 2bc \cos A \end{aligned}$$ すなわち $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$ となる。