三平方の定理の４通りの美しい証明

図において大きい正方形の面積 $S$ を二通りで表す。

• 一辺$(a+b)$ の正方形なので $S=(a+b)^2$

• 一辺 $c$ の正方形と直角三角形4つの和なので，$S=c^2+4\cdot\dfrac{1}{2}ab$

よって，$(a+b)^2=c^2+2ab$

整理すると $a^2+b^2=c^2$

となり三平方の定理を得る。

$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $H$ とおく。

• 三角形 $BHC$ と $BCA$ は相似なので， $BC^2=BH\times AB$

• 三角形 $AHC$ と $ACB$ は相似なので， $AC^2=AH\times AB$

以上二つの式を辺々加えると，

$a^2+b^2=(AH+BH)c=c^2$

を得る。

三角形 $ABC$ と $CDE$ が合同になるように，図のように $D,E$ を取る。

四角形 $ACBD$ の面積 $S$ を二通りの方法で表す。

• $AB$ と $CD$ は直交するので， $S=\dfrac{1}{2}AB\times CD=\dfrac{c^2}{2}$

• 三角形 $BCD$ の面積は $\dfrac{a^2}{2}$，三角形 $ACD$ の面積は $\dfrac{b^2}{2}$ より $S=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2)$

以上2つの式より三平方の定理を得る。

三角形 $ABC$ の面積を $S$ ，内接円の半径を $r$ とおくと，

$S=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$

である。

また，内接円と $BC$ との接点を $D$ とおくと，$r=CD=\dfrac{a+b-c}{2}$ である。

以上より，$ab=(\dfrac{a+b-c}{2})(a+b+c)$

これを展開して整理すると $a^2+b^2=c^2$ を得る。