ブレートシュナイダーの公式～ブラーマグプタの公式の一般化

$$S = \triangle \mathrm{ABC} + \triangle \mathrm{ADC}$$ である一方 $$\begin{aligned} \triangle \mathrm{ABC} &= \dfrac{1}{2} ab \sin B\\ \triangle \mathrm{ADC} &= \dfrac{1}{2} cd \sin D \end{aligned}$$ （なお $B = \angle \mathrm{ABC}$，$D = \angle \mathrm{ADC}$ とおいた） より $$2S = ab \sin B + cd \sin D$$ である。両辺を2乗して $$\begin{aligned} 4S^2 &= a^2 b^2 \sin^2 B + c^2 d^2 \sin^2 D \\ &\quad + 2abcd \sin B \sin D &\cdots \ (1) \end{aligned}$$ を得る。

さて余弦定理より $$\begin{aligned} \mathrm{AC}^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos B\\ &= c^2 + d^2 - 2cd \cos D \end{aligned}$$ であるため $$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2 ab \cos B - 2cd \cos D$$ となる。よって $$\begin{aligned} &\left\{\dfrac{1}{2} (a^2+b^2-c^2-d^2)\right\}^2\\ &= a^2 b^2 \cos^2 B + c^2 d^2 \cos^2 D\\ &\quad - 2abcd \cos B \cos D & \cdots \ (2) \end{aligned}$$ である。

$(1) + (2)$ を計算すると $$\begin{aligned} &4S^2 + \dfrac{1}{4} (a^2+b^2-c^2-d^2)^2\\ &= a^2 b^2 + c^2 d^2\\ & \quad - 2abcd (\cos B \cos D - \sin B \sin D)\\ &= a^2 b^2 + c^2 d^2 - 2abcd \cos (B+D)\\ &= a^2 b^2 + c^2 d^2 - 2abcd \left( 2 \cos^2 \dfrac{\theta}{2} - 1 \right) \\ &= (ab+cd)^2 - 4abcd \cos^2 \dfrac{\theta}{2} \end{aligned}$$ となる。

こうして $$\begin{aligned} &S^2 + abcd \cos^2 \dfrac{\theta}{2}\\ &= \dfrac{1}{4} (ab+cd)^2 - \dfrac{1}{16} (a^2+b^2-c^2-d^2)^2\\ &= \dfrac{2ab+2cd + (a^2+b^2-c^2-d^2)}{4}\\ &\qquad \cdot \dfrac{2ab+2cd - (a^2+b^2-c^2-d^2)}{4}\\ &= \dfrac{(a+b)^2 - (c-d)^2}{4} \cdot \dfrac{(c+d)^2- (a-b)^2}{4}\\ &= \dfrac{a+b+c-d}{2} \cdot \dfrac{a+b-c+d}{2}\\ &\qquad \cdot \dfrac{a-b+c+d}{2} \cdot \dfrac{-a+b+c+d}{2}\\ &= (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) \end{aligned}$$ となり $$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)}$$ を得る。