約数の総和を求める二つの公式と証明

一般形で書くと難しそうですね。例題で理解しましょう。

ちなみに，$12$ の約数を素直に全部足すと，

$1+2+3+4+6+12=28$

となり，確かに $28$ になりました。

例題1の $12$ くらいなら約数を列挙して足し算してもよいですが，例題2のように数が大きくなると総和公式が必須です。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT30でも約数の総和をもとめる問題を解説しています。

約数の総和公式を証明します。

例えば $12$ に対する約数の総和公式 $(1+2+2^2)(1+3)$ を展開してみると，

$1\cdot 1+1\cdot 3+2\cdot 1+2\cdot 3+2^2\cdot 1+2^2\cdot 3\\ =1+3+2+6+4+12$

となり，各項が $12$ の約数になっています。どんな場合でも 約数の総和公式の式を展開したときの各項と$n$ の約数が一対一に対応していることを確認すればOKです。

• 等比数列の和の公式を用いることで約数の総和公式を以下のように書くことができます：
  $\dfrac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\dfrac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1}\cdot \cdots \cdot\dfrac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1}$

• 約数の総和公式を応用することで偶数の完全数を特徴付けられます。→完全数の性質

ここから一気にレベルが上がります。美しいですが，覚える必要はありません，興味のある方のみどうぞ。

三角関数が登場して非常に面白いですが，$\dfrac{n(n+1)}{2}$ 個のコサインの和を計算しないといけないので全く実用的ではありません。

公式2の証明の概略

以下の二つを証明すれば十分です：

1. $s$ が $n$ の約数のとき $\displaystyle\sum_{t=1}^s\cos\dfrac{2\pi tn}{s}=s$

2. $s$ が $n$ の約数でないとき $\displaystyle\sum_{t=1}^s\cos\dfrac{2\pi tn}{s}=0$