完全数の一覧と性質

• $6$ は完全数です。
  実際，$6$ の約数は $1,\:2,\:3,\:6$ で，全て足すと $$1+2+3+6=12$$ となり，$6$ の2倍になっています。

• $496$ も完全数です。
  約数は $1,\:2,\:4,\:8,\:16,\:31,\:62,\:124,\:248,\:496$ で全て足すと $992$ となり，$496$ の2倍になっています。

なお，約数の総和がもとの数の2倍より小さい数を不足数，2倍より大きい数を過剰数と言います。

全ての素数は完全数ではありません。

実際，素数 $p$ の約数は $1$ と $p$ だけですが，

$1+p=2p$

となるような素数 $p$ は存在しません。

証明はこの記事の最後にします（定理1は簡単，定理2は少し大変）。

$2^{N}-1$ という形の数をメルセンヌ数といい，素数のメルセンヌ数をメルセンヌ素数といいます。上記の定理により「メルセンヌ素数」と「偶数の完全数」が一対一に対応していることが分かります。

例えば $N=2$ のとき，$2^{N}-1=3$ はメルセンヌ素数なので $n=2\cdot 3=6$ が完全数となります。

ちなみに奇数の完全数は存在するかどうかすら分かっていません。

1000桁以下の完全数を一覧にしてみました。全部で $15$ 個あります。

上記の議論により，偶数の完全数は $N$ で表すことができます。桁数が大きくなると表記が大変なので大きい部分は $N$ のみ示します。また，1500桁以下の奇数の完全数は存在しないことが確認されているそうです。

$N$，対応する完全数

$2,6$

$3,28$

$5,496$

$7,8128$

$13,33550336$

$17,8589869056$

$19,137438691328$

以下 $N$ のみ示す。

$31,\:61,\:89,\:107,\:127,\:521,\:607,\:1279$

※List of perfect numbersを参照しました。

おまたせしました，整数問題として面白い部分です。

まずは簡単な定理1から証明します。

※1：約数の総和を求める二つの公式と証明

※2：等比数列の和の公式（例題・証明・応用）

定理2の証明も非常に面白いです。最初に証明したのはオイラーです。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT139では，完全数に関する問題と3通りの解答を紹介しています。