フォードの円

まず，値が $0$ 以上 $1$ 以下で，分母が $n$ 以下の既約分数を並べます。例えば $n=4$ のとき，

$\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3},\dfrac{3}{4},\dfrac{1}{1}$

という感じです（左端は $\dfrac{0}{1}$ ，右端は $\dfrac{1}{1}$ とします）。

ちなみに，この数列はファレイ数列と呼ばれます。

次に，各分数 $\dfrac{q}{p}$ に対して，中心が $\left(\dfrac{q}{p},\dfrac{1}{2p^2}\right)$ で直径が $\dfrac{1}{p^2}$ である円を書きます。各円は $x$ 軸に接することに注意してください。

このとき， 隣り合う分数に対応する円は互いに接します！この円（たち）のことをフォードの円と言います。

$n=4$ のときは冒頭の図のような感じです。

ファレイ数列の性質を使います。→ファレイ数列の４つの性質とその証明

分母の上限 $n$ をどんどん大きくしていったときのフォードの円の面積の総和を計算してみましょう（ただし，便宜上 $\dfrac{0}{1}$ に対応する円は除きます）。

まず，分母が $p$ である既約分数は，$\phi(p)$ 個あります。→オイラーのファイ関数のイメージと性質

よって，それらの分数に対応する円の面積の和は，

$\pi \left(\dfrac{1}{2p^2}\right)^2\times \phi(p)$

したがって，全てのフォードの円の面積の和は，

$\dfrac{\pi}{4}\displaystyle\sum_{p=1}^{\infty}\dfrac{\phi(p)}{p^4}$

となります。

実は，上式はゼータ関数を用いて

$\dfrac{\pi}{4}\dfrac{\zeta(3)}{\zeta(4)}$

と書けることが知られています。

参考文献：Introduction to Analytic Number Theory

具体的な値は $0.87$ くらいです。

※1998年東大理系前期第３問が，フォードの円に関連する問題のようです！（読者の方に教えていただきました）