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シンプソンのパラドックス

更新日時 2021/03/07

シンプソンのパラドックス(Simpson’s paradox):

「全体で見たときの相関」と「分割して見たときの相関」が逆になってしまうことがある。

目次
  • 具体例

  • メカニズム

  • パラドックスの回避

具体例

シンプソンのパラドックスを理解するためには具体例が一番です。

数学のテストの点数を高校Aと高校Bで比較する。

高校Aは理系90人(平均80点),文系10人(平均60点)

高校Bは理系10人(平均90点),文系90人(平均70点)

どちらの学校が数学に強いと言えるか?

・全体平均で考えてみる

高校Aの全体平均は,80×0.9+60×0.1=7880\times 0.9+60\times 0.1=78

高校Bの全体平均は,90×0.1+70×0.9=7290\times 0.1+70\times 0.9=72

よって, 高校Aの方が数学に強い。

・理系,文系別々に考えてみる

理系の平均点だけを比較すると高校Bの方が高い。同様に文系の平均点も高校Bの方が高い。

よって, 高校Bの方が数学に強い。

考え方によって二つの相反する結論が得られました。これがシンプソンのパラドックスです。

メカニズム

シンプソンのパラドックス

シンプソンのパラドックスのメカニズムを図に示します。

理系,文系それぞれの平均では高校Bが勝っていますが,加重平均を取るときの重みが違うので全体平均では逆転します。

パラドックスの回避

このパラドックスを回避するためには それぞれの立場の根拠を明確にすることです。

この例の場合,例えば以下のように説明できます。

(説明1:別々に考えるべきという立場)

  • そもそも文系よりも理系の方が数学ができる(専攻と数学の点数には相関がある)
  • 高校Aは高校Bに比べて圧倒的に理系が多い

よって,高校Aの全体平均が高いのは当然。全体平均を比べることにあまり意味はない。

高校の教育力を比較するには同じ条件で考えないといけない。そこで,「理系」or「文系」に限定して同じ土俵で考えると高校Bの方が優れていると言える。

「理系」であったとしても「文系」であったとしても高校Bに行った方が数学ができるようになる可能性が高いと言える!

少々強引ですが,以下のような説明も考えられます。

(説明2:全体平均で考えるべきという立場)

「理系の生徒を多く集めることができた」というのも数学に力を入れている高校の実力のうちだ。だから全体平均で考えるのがよい。

都合の悪い方の説明には一切触れずに,都合のいい方の説明を使うことができるので,高校Aの人は説明2を使い,高校Bの人は説明1を使うでしょう。

どちらの考え方も(根拠とともに)きちんと理解した上で,自分がどちらに賛同するのか決めることが重要です。

ちなみに僕はこの例の場合,説明1に賛同します。

Tag:難しめの数学雑学・ネタまとめ

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