ミケルの定理とミケル円

$BDPF$ は同一円周上にあるので，$\angle DPF=180^{\circ}-\angle B$

$CDPE$ は同一円周上にあるので，$\angle DPE=180^{\circ}-\angle C$

よって，

$\angle FPE=360^{\circ}-\angle DPF-\angle DPE\\ =\angle B+\angle C\\ =180^{\circ}-\angle A$

となるので $AFPE$ も同一円周上にある。

三角形 $ABC$ 　に注目する。 $D$ は直線 $BC$ 上，$E$ は直線 $CA$ 上，$F$ は直線 $AB$ 上にあるのでミケルの定理より，$\Gamma(AFE)$，$\Gamma(DCE)$，$\Gamma(DBF)$）は一点で交わる。

同様に（例えば三角形 $FDB$ に注目することで），$\Gamma(ABC)$ もこの点を通ることが分かる。