ミケルの定理とミケル円

更新日時 2021/03/07

ミケルの定理

ミケルの定理：

3点 $ABC$ と直線 $BC$ 上の点 $D$ ， $CA$ 上の点 $E$ ， $AB$ 上の点 $F$ がある。この6点は全て異なるとする。

このとき，三つの円 $\Gamma(AEF)$ ， $\Gamma(BDF)$ ， $\Gamma(CDE)$ は一点で交わる。

ただし， $\Gamma(AEF)$ で三角形 $AEF$ の外接円を表すことにします。

ミケルの定理の証明

きちんと証明するのは場合分けがめんどうなので， $\Gamma(BDF)$ と $\Gamma(CDE)$ の交点 $P$ が三角形 $ABC$ の内部にある場合についてのみ証明します。

証明

$BDPF$ は同一円周上にあるので， $\angle DPF=180^{\circ}-\angle B$

$CDPE$ は同一円周上にあるので， $\angle DPE=180^{\circ}-\angle C$

よって，

$\angle FPE=360^{\circ}-\angle DPF-\angle DPE\\ =\angle B+\angle C\\ =180^{\circ}-\angle A$

となるので $AFPE$ も同一円周上にある。

追記：「有向角を使うことで場合分けせずに簡潔に証明できる方法がある」と，読者の方に教えていただきました！

ミケル点：

図に登場する四つの三角形の外接円（ $\Gamma(ABC)$ ， $\Gamma(AFE)$ ， $\Gamma(DCE)$ ， $\Gamma(DBF)$ ）は一点 $M$ で交わる。これをミケル点と呼ぶ。

メネラウスの定理に登場する図形（完全四辺形）です。

「4本の（一般の位置にある）直線が与えられたとき，そのうち3本の直線を選ぶと定まる三角形が4つある。これらの外接円は一点で交わる」と言うこともできます。

ミケルの定理を用いて証明してみます。

証明

三角形 $ABC$ 　に注目する。 $D$ は直線 $BC$ 上， $E$ は直線 $CA$ 上， $F$ は直線 $AB$ 上にあるのでミケルの定理より， $\Gamma(AFE)$ ， $\Gamma(DCE)$ ， $\Gamma(DBF)$ ）は一点で交わる。

同様に（例えば三角形 $FDB$ に注目することで）， $\Gamma(ABC)$ もこの点を通ることが分かる。

他にも方法はあります。考えてみてください！

そういえば昔「1枚，2枚，3マイケル」とかいう芸人がいましたね。