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ミケルの定理とミケル円

更新日時 2021/03/07

ミケルの定理

ミケルの定理:

3点 ABCABC と直線 BCBC 上の点 DDCACA 上の点 EEABAB 上の点 FF がある。この6点は全て異なるとする。

このとき,三つの円 Γ(AEF)\Gamma(AEF)Γ(BDF)\Gamma(BDF)Γ(CDE)\Gamma(CDE) は一点で交わる。

ただし,Γ(AEF)\Gamma(AEF) で三角形 AEFAEF の外接円を表すことにします。

目次
  • ミケルの定理の証明

  • ミケル点

  • ミケル点の存在証明

ミケルの定理の証明

きちんと証明するのは場合分けがめんどうなので,Γ(BDF)\Gamma(BDF)Γ(CDE)\Gamma(CDE) の交点 PP が三角形 ABCABC の内部にある場合についてのみ証明します。

証明

BDPFBDPF は同一円周上にあるので,DPF=180B\angle DPF=180^{\circ}-\angle B

CDPECDPE は同一円周上にあるので,DPE=180C\angle DPE=180^{\circ}-\angle C

よって,

FPE=360DPFDPE=B+C=180A\angle FPE=360^{\circ}-\angle DPF-\angle DPE\\ =\angle B+\angle C\\ =180^{\circ}-\angle A

となるので AFPEAFPE も同一円周上にある。

追記:「有向角を使うことで場合分けせずに簡潔に証明できる方法がある」と,読者の方に教えていただきました!

ミケル点

ミケル点

ミケル点:

図に登場する四つの三角形の外接円(Γ(ABC)\Gamma(ABC)Γ(AFE)\Gamma(AFE)Γ(DCE)\Gamma(DCE)Γ(DBF)\Gamma(DBF) )は一点 MM で交わる。これをミケル点と呼ぶ。

メネラウスの定理に登場する図形(完全四辺形)です。

「4本の(一般の位置にある)直線が与えられたとき,そのうち3本の直線を選ぶと定まる三角形が4つある。これらの外接円は一点で交わる」と言うこともできます。

ミケル点の存在証明

ミケルの定理を用いて証明してみます。

証明

三角形 ABCABC  に注目する。 DD は直線 BCBC 上,EE は直線 CACA 上,FF は直線 ABAB 上にあるのでミケルの定理より,Γ(AFE)\Gamma(AFE)Γ(DCE)\Gamma(DCE)Γ(DBF)\Gamma(DBF) )は一点で交わる。

同様に(例えば三角形 FDBFDB に注目することで),Γ(ABC)\Gamma(ABC) もこの点を通ることが分かる。

他にも方法はあります。考えてみてください!

そういえば昔「1枚,2枚,3マイケル」とかいう芸人がいましたね。

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