ミケルの定理とミケル円

更新日時 2021/03/07
ミケルの定理

ミケルの定理

3点 ABCABC と直線 BCBC 上の点 DD，CACA 上の点 EE，ABAB 上の点 FF がある。この6点は全て異なるとする。

このとき，三つの円 Γ(AEF)\Gamma(AEF)，Γ(BDF)\Gamma(BDF)，Γ(CDE)\Gamma(CDE) は一点で交わる。

ただし，Γ(AEF)\Gamma(AEF) で三角形 AEFAEF の外接円を表すことにします。

目次

  • ミケルの定理の証明

  • ミケル点

  • ミケル点の存在証明

ミケルの定理の証明

きちんと証明するのは場合分けがめんどうなので，Γ(BDF)\Gamma(BDF) と Γ(CDE)\Gamma(CDE) の交点 PP が三角形 ABCABC の内部にある場合についてのみ証明します。

証明

BDPFBDPF は同一円周上にあるので，∠DPF=180∘−∠B\angle DPF=180^{\circ}-\angle B

CDPECDPE は同一円周上にあるので，∠DPE=180∘−∠C\angle DPE=180^{\circ}-\angle C

よって，

∠FPE=360∘−∠DPF−∠DPE=∠B+∠C=180∘−∠A\angle FPE=360^{\circ}-\angle DPF-\angle DPE\\ =\angle B+\angle C\\ =180^{\circ}-\angle A

となるので AFPEAFPE も同一円周上にある。

追記：「有向角を使うことで場合分けせずに簡潔に証明できる方法がある」と，読者の方に教えていただきました！

ミケル点

ミケル点

ミケル点

図に登場する四つの三角形の外接円（Γ(ABC)\Gamma(ABC)，Γ(AFE)\Gamma(AFE)，Γ(DCE)\Gamma(DCE)，Γ(DBF)\Gamma(DBF)）は一点 MM で交わる。これをミケル点と呼ぶ。

メネラウスの定理に登場する図形（完全四辺形）です。

「4本の（一般の位置にある）直線が与えられたとき，そのうち3本の直線を選ぶと定まる三角形が4つある。これらの外接円は一点で交わる」と言うこともできます。

ミケル点の存在証明

ミケルの定理を用いて証明してみます。

証明

三角形 ABCABC 　に注目する。 DD は直線 BCBC 上，EE は直線 CACA 上，FF は直線 ABAB 上にあるのでミケルの定理より，Γ(AFE)\Gamma(AFE)，Γ(DCE)\Gamma(DCE)，Γ(DBF)\Gamma(DBF)）は一点で交わる。

同様に（例えば三角形 FDBFDB に注目することで），Γ(ABC)\Gamma(ABC) もこの点を通ることが分かる。

他にも方法はあります。考えてみてください！

そういえば昔「1枚，2枚，3マイケル」とかいう芸人がいましたね。

この記事の編集者
マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！