ミケルの定理とミケル円

更新日時 2021/03/07

ミケルの定理

3点 $ABC$ と直線 $BC$ 上の点 $D$ ， $CA$ 上の点 $E$ ， $AB$ 上の点 $F$ がある。この6点は全て異なるとする。

このとき，三つの円 $\Gamma(AEF)$ ， $\Gamma(BDF)$ ， $\Gamma(CDE)$ は一点で交わる。

ただし， $\Gamma(AEF)$ で三角形 $AEF$ の外接円を表すことにします。

ミケルの定理の証明

きちんと証明するのは場合分けがめんどうなので，Γ(BDF)\Gamma(BDF)Γ(BDF)
 と
Γ(CDE)\Gamma(CDE)Γ(CDE)
 の交点
PPP
 が三角形
ABCABCABC
 の内部にある場合についてのみ証明します。
証明
BDPFBDPFBDPF
 は同一円周上にあるので，∠DPF=180∘−∠B\angle DPF=180^{\circ}-\angle B∠DPF=180∘−∠B
CDPECDPECDPE
 は同一円周上にあるので，∠DPE=180∘−∠C\angle DPE=180^{\circ}-\angle C∠DPE=180∘−∠C
よって，
∠FPE=360∘−∠DPF−∠DPE=∠B+∠C=180∘−∠A\angle FPE=360^{\circ}-\angle DPF-\angle DPE\\
=\angle B+\angle C\\
=180^{\circ}-\angle A∠FPE=360∘−∠DPF−∠DPE=∠B+∠C=180∘−∠A
となるので
AFPEAFPEAFPE
 も同一円周上にある。
有向角（余談）「有向角を使うことで場合分けせずに簡潔に証明できる」と，読者の方に教えていただきました！
有向角は「場合分けをせず簡潔に証明する」ための道具です。大学受験では不要ですが，数オリの本選以降では重要なテクニックです。私は高校生のころ有向角を知らず，JMO本選の図形問題で場合分けが不十分で完答できなかった悲しい記憶があります。
有向角の意味と，ミケルの定理の場合分け不要な証明は，有向角の使い方(外部サイト)がわかりやすいです。