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球欠,球台の体積と球冠,球帯の表面積

更新日時 2021/03/07

球を平面で切り取った立体の体積,および側面の面積の求め方を解説します。結果を覚える必要はありませんが,導出方法はマスターしておきましょう。

目次
  • 球を切って得られる立体の名前

  • 球欠,球台の体積

  • 球冠,球帯の表面積

球を切って得られる立体の名前

球欠,球台

球欠(spherical segment):球を一つの平面で切った立体

球冠(球帽,spherical cap):球欠の側面部分

球台(spherical segment):球を二つの平行な平面で切った立体

球帯(spherical zone):球台の側面部分

球欠と球台は立体,球冠と球帯は曲面です。球欠は球の一部が欠けたもので,球帽は帽子っぽい,球台は台っぽい,球帯は帯っぽいですね(名前を覚える必要はありません)。

球欠,球台の体積

底面の半径が r1r_1 ,天面の半径が r2r_2 ,高さが hh である球台の体積は,

V=16πh(3r12+3r22+h2)V=\dfrac{1}{6}\pi h(3r_1^2+3r_2^2+h^2)

証明

もとの球の半径を rr とおくと図より,

V=tt+hπx2dy=tt+hπ(r2y2)dy=π{hr2(t+h)33+t33}=π3(3hr2h33h2t3ht2)V=\displaystyle\int_t^{t+h}\pi x^2dy\\ =\displaystyle\int_t^{t+h}\pi (r^2-y^2)dy\\ =\pi \left\{hr^2-\dfrac{(t+h)^3}{3}+\dfrac{t^3}{3}\right\}\\ =\dfrac{\pi}{3}(3hr^2-h^3-3h^2t-3ht^2)

球台の体積

あとは t,rt,r を消去して r1,r2r_1,r_2 で表せばよい。

まず,r2=t2+r12r^2=t^2+r_1^2 (*)を用いて rr を消す:

V=π3(3hr12h33h2t)V=\dfrac{\pi}{3}(3hr_1^2-h^3-3h^2t)

さらに,(*)と r2=(t+h)2+r22r^2=(t+h)^2+r_2^2 から t=r12r22h22ht=\dfrac{r_1^2-r_2^2-h^2}{2h} となり,これを代入すると,

V=π3{3hr12h332h(r12r22h2)}=16πh(3r12+3r22+h2)V=\dfrac{\pi}{3}\left\{3hr_1^2-h^3-\dfrac{3}{2}h(r_1^2-r_2^2-h^2)\right\}\\ =\dfrac{1}{6}\pi h(3r_1^2+3r_2^2+h^2)

を得る。

なお,r1=0r_1=0 または r2=0r_2=0 とすることで球欠の体積公式: V=16πh(3r2+h2)V=\dfrac{1}{6}\pi h(3r^2+h^2) が得られます。

球冠,球帯の表面積

高校数学の範囲外ですが,計算は体積より簡単です。非常に美しい結果です。

球冠,球帯の表面積はその高さに比例する。

注:球帯の高さとは底面と天面の距離です。

球の体積と表面積を積分で証明の表面積の証明1とほぼ同じことをやるだけです。

証明

球帯の表面積

もとの球の半径を rr とする。

Δθ\Delta\theta を十分 00 に近い正の数として,緯度が θ\theta から θ+Δθ\theta+\Delta \theta の部分(帯のような図形)の表面積を考える。

周の長さは 2πrcosθ2\pi r\cos\theta ,帯の幅は rΔθr\Delta\theta なので帯の表面積は,

2πr2cosθΔθ2\pi r^2\cos\theta\Delta\theta

よって,球帯の表面積は S=2πr2θ1θ2cosθdθS=2\pi r^2\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta d\theta

(ただし,θ1\theta_1 は球帯の底面の緯度,θ2\theta_2 は球帯の天面の緯度)

ここで,rsinθ=hr\sin\theta=h と置換すると,dhdθ=rcosθ\dfrac{dh}{d\theta}=r\cos\theta より, S=2πrh1h2dh=2πrhS=2\pi r\int_{h_1}^{h_2}dh=2\pi rh

(ただし,h1h_1 は球帯の底面の「高さ」,h2h_2 は球帯の天面の「高さ」,h=h1h2h=h_1-h_2 は球帯の幅)

なお,球帯で h2=rh_2=r とすれば球冠になります。

図を描くのが大変でした。

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