球欠，球台の体積と球冠，球帯の表面積

もとの球の半径を $r$ とおくと図より，

$V=\displaystyle\int_t^{t+h}\pi x^2dy\\ =\displaystyle\int_t^{t+h}\pi (r^2-y^2)dy\\ =\pi \left\{hr^2-\dfrac{(t+h)^3}{3}+\dfrac{t^3}{3}\right\}\\ =\dfrac{\pi}{3}(3hr^2-h^3-3h^2t-3ht^2)$

あとは $t,r$ を消去して $r_1,r_2$ で表せばよい。

まず，$r^2=t^2+r_1^2$ （＊）を用いて $r$ を消す：

$V=\dfrac{\pi}{3}(3hr_1^2-h^3-3h^2t)$

さらに，（＊）と $r^2=(t+h)^2+r_2^2$ から $t=\dfrac{r_1^2-r_2^2-h^2}{2h}$ となり，これを代入すると，

$V=\dfrac{\pi}{3}\left\{3hr_1^2-h^3-\dfrac{3}{2}h(r_1^2-r_2^2-h^2)\right\}\\ =\dfrac{1}{6}\pi h(3r_1^2+3r_2^2+h^2)$

を得る。

もとの球の半径を $r$ とする。

$\Delta\theta$ を十分 $0$ に近い正の数として，緯度が $\theta$ から $\theta+\Delta \theta$ の部分（帯のような図形）の表面積を考える。

周の長さは $2\pi r\cos\theta$ ，帯の幅は $r\Delta\theta$ なので帯の表面積は，

$2\pi r^2\cos\theta\Delta\theta$

よって，球帯の表面積は $S=2\pi r^2\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta d\theta$

（ただし，$\theta_1$ は球帯の底面の緯度，$\theta_2$ は球帯の天面の緯度）

ここで，$r\sin\theta=h$ と置換すると，$\dfrac{dh}{d\theta}=r\cos\theta$ より， $S=2\displaystyle\pi r\int_{h_1}^{h_2}dh=2\pi rh$

（ただし，$h_1$ は球帯の底面の「高さ」，$h_2$ は球帯の天面の「高さ」，$h=h_1-h_2$ は球帯の幅）