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双子素数にまつわるいくつかの話題

更新日時 2021/03/07

ppp+2p+2 がいずれも素数であるときそれらを双子素数と言う。

(3,5)(3,5)(5,7)(5,7)(11,13)(11,13) などが双子素数です。

目次
  • 双子素数は無限にあるか

  • 双子素数の逆数和

  • 三つ子素数

双子素数は無限にあるか

双子素数が無限個あるか,有限個しかないのかは未解決問題です。

つまり,nn 番目の素数を pnp_n と書くと,

主張1:pn+1pn=2p_{n+1}-p_{n}=2 となる nn が無限個ある

が正しいかどうかは未解決というわけです。

ところが,上の予想を弱めた以下の主張2は正しいことが証明されています!

主張2:pn+1pn600p_{n+1}-p_{n}\leq 600 となる nn が無限個ある

主張1が正しい→主張2が正しい,は成立しますが逆はダメです。

なお,主張2は以下のように表現することもできます:

lim infn(pn+1pn)<600\displaystyle\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n) < 600

(任意の整数 NN に対してある n>Nn > N が存在して,pn+1pnp_{n+1}-p_{n}600600 以下となる)

ちなみに,この 600600 というギャップは現在 246246 まで縮められているようです(→Bounded gaps between primes)。

双子素数の逆数和

以下の主張3が成立することも証明されています。

主張3:双子素数の逆数和は収束する

つまり,(13+15)+(15+17)+(111+113)+\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\right)+\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}\right)+\left(\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{13}\right)+\cdots が収束するというわけです。この収束先の値はブルン定数と呼ばれます(だいたい 1.91.9 くらい)。

素数の逆数和は発散する(→素数の逆数和が発散することの証明)ことと合わせると 双子素数は素数よりずっと少ないと言うことができます。

ちなみに,もし主張3が嘘だったら(双子素数の逆数和が発散するなら)双子素数が無限にあることが分かるので主張1が正しいことも分かりバンザイでした。

しかし,双子素数の逆数和が収束したからといって,双子素数が有限個しかないとは限りません(無限個の和が収束することもある)。

三つ子素数

双子素数と同様に三つ子素数も定義したくなりますが

p,p+2,p+4p,p+2,p+4 がいずれも素数である」という状況は p=3p=3 の場合のみです(p,p+2,p+4p,p+2,p+433 で割った余りは異なるのでどれか一つが 33 の倍数になる,33 の倍数で素数なのは 33 だけ)。

そこで, (p,p+2,p+6)(p,p+2,p+6) 型か(p,p+4,p+6)(p,p+4,p+6) 型の素数の組を三つ子素数と言います。例えば (41,43,47),(67,71,73)(41,43,47),(67,71,73) などです。

さらに,(p,p+2,p+6,p+8)(p,p+2,p+6,p+8) 型を四つ子素数と言います。 (11,13,17,19)(11,13,17,19) などです。

三つ子素数の定義は強引なのであまり好きじゃないです。

Tag:素数にまつわる覚えておくべき性質まとめ

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