定積分

King Property から，

$$\begin{gather*} I = \int_0^{\pi/2} \frac{6\sqrt{\cos x}}{(\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x})^5}dx = \int_0^{\pi/2} \frac{6\sqrt{\sin x}}{(\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x})^5}dx， \\\therefore\quad 2I= \int_0^{\pi/2} \frac{6dx}{(\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x})^4}dx．\end{gather*}$$

$y = \cos x,\ y = \sin x$ のグラフは直線 $x = \pi/4$ に関して線対称，ゆえに $y = \sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}$ も線対称だから，

$$I= \int_0^{\pi/4} \frac{6dx}{(\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x})^4}dx．$$

$u = \sqrt{\tan x}$ とおくと

$$\begin{gather*} \cos^2 x = (1 + \tan^2 x)^{-1} = (1 + u^4)^{-1}，\\ dx = (\arctan u^2)'du = 2u(1 + u^4)^{-1}du\end{gather*}$$

だから，

$$I= \int_0^{\pi/4} \frac{6dx}{\cos^2 x (1 + \sqrt{\tan x})^4}dx= \int_0^1 \frac{12u du}{(1 + u)^4}．$$

さらに $v = 1 + u$ と置換すると

$$I= \int_1^2 12 v^{-4} (v - 1) dv= 12 \left[-\frac{1}{2}v^{-2} + \frac{1}{3}v^{-3}\right]_1^2= 1$$

が得られる。