1. アンサーズ
  2. ∫x²(logx)²dxの不定積分の求め方と途中式をどなたか教えてください。
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∫x²(logx)²dxの不定積分の求め方と途中式をどなたか教えてください。

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logx=t\log x =t とおきます。

x=etx= e^tdx=etdtdx=e^t dt となります。

置換積分をしたあと部分積分を用います。微分したい式が積分の中にある時に用いるのが「部分積分」です。

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx\int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx

より,

x2(logx)2dx=e2tt2etdt=t2e3tdt=(t213e3t)2t13e3tdt=13t2e3t23(t13e3t)+2313e3tdt=13t2e3t29te3t+29(13e3t)+C=13t2e3t29te3t+227e3t+C=(9t26t+2)e3t27+C\begin{aligned}\int & x^2 (\log x)^2 dx\\&= \int e^{2t} \cdot t^2 \cdot e^t dt\\&= \int t^2 e^{3t} dt\\&= \left(t^2 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot e^{3t} \right) - \int 2t \cdot \cdot \dfrac{1}{3} \cdot e^{3t} dt\\ &= \dfrac{1}{3} \cdot t^2 e^{3t} - \dfrac{2}{3}\cdot \left(t \cdot \dfrac{1}{3} \cdot e^{3t}\right) + \dfrac{2}{3}\cdot \int \dfrac{1}{3} e^{3t} dt\\&=\dfrac{1}{3}t^2 e^{3t} - \dfrac{2}{9}te^{3t} + \dfrac{2}{9}\left(\dfrac{1}{3}e^{3t}\right) + C\\&=\dfrac{1}{3}t^2 e^{3t} - \dfrac{2}{9}te^{3t} + \dfrac{2}{27}e^{3t} + C\\&= (9t^2 -6t + 2)\dfrac{e^{3t}}{27} + C\end{aligned}

ただし,CCは積分定数です。

を代入して

={9(logx)²6logx+2}e3logx27+C={9(logx)²6logx+2}x327+C\begin{aligned} &=\{9(\log x)²-6\log x+2\}\dfrac{e^{3\log x}}{27} + C\\&=\{9(\log x)²-6\log x+2\}\dfrac{x^3}{27} + C \end{aligned}

返信(1件)

めちゃくちゃ綺麗な数式!!ありがとうございます!

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

とても綺麗な数式でわかりやすかったです、ありがとうございます!(このサイトこんなのもできるんですね…)

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