積分公式一覧

積分公式を整理しました。基本公式から難問まで,すべて計算できれば積分マスターです!

積分公式一覧

微分については微分公式一覧(基礎から発展まで)をどうぞ。

基本的な関数の積分公式

この節はすべて基本公式です。確実に覚えておきましょう。

xadx=xa+1a+1+C(a1)\displaystyle\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C\:\:(a\neq -1)

  • a=2a=2 のとき x2dx=x33+C\displaystyle\int x^2dx=\dfrac{x^3}{3}+C
  • a=3a=3 のとき x3dx=x44+C\displaystyle\int x^3dx=\dfrac{x^4}{4}+C
  • a=12a=\dfrac{1}{2} のとき xdx=2xx3+C\displaystyle\int \sqrt{x} dx=\dfrac{2x\sqrt{x}}{3}+C

1xdx=logx+C\displaystyle\int\dfrac{1}{x}dx=\log|x|+C

sinxdx=cosx+C\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C

cosxdx=sinx+C\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C

tanxdx=logcosx+C\displaystyle\int\tan xdx=-\log|\cos x|+C
→タンジェントとそのn乗の不定積分

logxdx=xlogxx+C\displaystyle\int\log xdx=x\log x-x+C
→log xの積分計算の2通りの方法と発展形

exdx=ex+C\displaystyle\int e^xdx=e^x+C

axdx=axloga+C\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C
→指数関数(e^xとa^x)の積分と関連する公式

1cos2xdx=tanx+C\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2 x} dx =\tan x+C

1sin2xdx=1tanx+C\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2 x} dx =-\dfrac{1}{\tan x}+C

いずれも積分後の式を微分することで確かめられます。

積分テクニック

すべて必須のテクニックです。詳細はリンク先で解説しています。

  • 置換積分:
    x=g(t)x=g(t) と置換すると,
    f(x)dx=f(g(t))dxdtdt\displaystyle\int f(x)dx=\displaystyle\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt
    →置換積分の公式の証明と例題

  • 置換積分の特殊形:
    f(x)f(x)dx=logf(x)\displaystyle\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|
    「微分したものが分子にあるなら積分できる」と覚えましょう。

  • 部分積分:
    f(x)g(x)dx=f(x)G(x)f(x)G(x)dx\displaystyle\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\displaystyle\int f'(x)G(x)dx
    ただし,ff'ff の微分GGgg の積分G(x)=g(x)G'(x)=g(x))。
    →部分積分の公式と覚え方,例題

  • King Property:
    abf(x)dx=abf(a+bx)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\displaystyle\int_a^bf(a+b-x)dx
    →対称性を用いた定積分の計算(King Property)

一次式の積っぽい積分公式

この節の公式も大学入試で大活躍します。覚えておきましょう。

(xa)tdx=1t+1(xa)t+1+C(t1)\displaystyle\int (x-a)^tdx=\dfrac{1}{t+1}(x-a)^{t+1}+C \:\:(t\neq -1)
→置換積分を用いずに積分速度を上げる公式

αβ(xα)(βx)dx=(βα)36\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x)dx=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}
(両辺マイナス1倍した以下の形で書かれることも多いです)
αβ(xα)(xβ)dx=(βα)36\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}
→放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

01xm(1x)ndx=m!n!(m+n+1)!\displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}
→ベータ関数の積分公式

f(ax+b)の積分

この節は合成関数の微分公式からすぐに導ける公式たちです。すぐに導ければ覚える必要はありません。

(ax+b)tdx=(ax+b)t+1a(t+1)+C(t1)\displaystyle\int (ax+b)^tdx=\dfrac{(ax+b)^{t+1}}{a(t+1)}+C\:(t\neq -1)

sin(ax+b)dx=cos(ax+b)a+C\displaystyle\int \sin(ax+b)dx=-\dfrac{\cos(ax+b)}{a}+C

cos(ax+b)dx=sin(ax+b)a+C\displaystyle\int\cos(ax+b)dx=\dfrac{\sin(ax+b)}{a}+C

eax+bdx=eax+ba+C\displaystyle\int e^{ax+b}dx=\dfrac{e^{ax+b}}{a}+C

発展的な三角関数の積分公式

この節の公式を丸覚えするというよりも導出方法を理解することが大事です。

1sinxdx=12log(1cosx1+cosx)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C

1cosxdx=12log(1+sinx1sinx)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C

1tanxdx=logsinx+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\tan x}dx=\log|\sin x|+C
→1/sinx(サイン分の1)と1/cosx(コサイン分の1)の積分

eaxcosbxdx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C

eaxsinbxdx=eaxa2+b2(asinbxbcosbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C
→三角関数と指数関数の積の積分

nn が奇数のとき,

0π2sinnxdx=0π2cosnxdx=(n1)!!n!!\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx =\dfrac{(n-1)!!}{n!!}

nn が偶数のとき,

0π2sinnxdx=0π2cosnxdx=π2(n1)!!n!!\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}
→ウォリス積分~sinのn乗,cosのn乗の積分公式

tan2xdx=tanxx+C\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x+C

tannxdx=1n1tann1xtann2xdx\displaystyle\int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx
→タンジェントとそのn乗の不定積分

mmnn が異なる自然数のとき,

02πsinmxcosnxdx=002πsinmxcosmxdx=002πsinmxsinnxdx=002πcosmxcosnxdx=0\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos nxdx=0\\ \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos mxdx=0\\ \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\sin nxdx=0\\ \displaystyle\int_0^{2\pi} \cos mx\cos nxdx=0
→三角関数の積の積分と直交性

また,三角関数の有理式は必ず積分できます。
→三角関数の有理式の積分

x2±a2x^2\pm a^2 にまつわる積分公式

この節はかなり難しいです。覚える必要はありません。

dxx2+a2=log(x+x2+a2)+C\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})+C

x2+a2dx=12(xx2+a2+a2log(x+x2+a2))+C\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}dx\\=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))+C
→ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

1a2x2dx=Arcsinxa+C\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\mathrm{Arcsin} \dfrac{x}{a}+C

1x2+a2dx=1aArctanxa+C\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\mathrm{Arctan} \dfrac{x}{a}+C
→逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

1x2a2dx=12alogxax+a+C\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\log\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C

大学レベルの積分公式

a>0a > 0 のとき,
eax2dx=πa\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}
→ガウス積分の公式の2通りの証明

sinx2dx=cosx2dx=π2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}
→フレネル積分

0x3ex1dx=π415\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{\pi^4}{15}
→x^3/e^x-1の定積分

なお,→高校数学の問題集 ~最短で得点力を上げるために~では,いろいろな積分計算の問題と,計算ミスを減らす工夫も紹介しています。

微分は機械的にできますが,積分はパズルみたいで一筋縄ではいかない場合もあり,おもしろいです。「この公式が足りない」などあればご一報下さい。