積分公式一覧

更新日時 2022/08/15

覚えておくべき積分公式を整理しました。いずれも積分後の式を微分することで確かめられます。

微分については微分公式一覧(基礎から発展まで)をどうぞ。

目次
  • 基本的な関数の積分公式

  • 一次式の積っぽい積分公式

  • f(ax+b)の積分

  • 発展的な三角関数の積分公式

  • x2±a2x^2\pm a^2 にまつわる積分公式

  • 大学レベルの積分公式

基本的な関数の積分公式

xadx=xa+1a+1+C(a1)\displaystyle\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C\:\:(a\neq -1)

1xdx=logx+C\displaystyle\int\dfrac{1}{x}dx=\log|x|+C

sinxdx=cosx+C\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C

cosxdx=sinx+C\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C

tanxdx=logcosx+C\displaystyle\int\tan xdx=-\log|\cos x|+C

→タンジェントとそのn乗の不定積分

logxdx=xlogxx+C\displaystyle\int\log xdx=x\log x-x+C

→log xの積分計算の2通りの方法と発展形

exdx=ex+C\displaystyle\int e^xdx=e^x+C

axdx=axloga+C\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C

1cos2xdx=tanx+C\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2 x} dx =\tan x+C

1sin2xdx=1tanx+C\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2 x} dx =-\dfrac{1}{\tan x}+C

一次式の積っぽい積分公式

(xa)tdx=1t+1(xa)t+1+C(t1)\displaystyle\int (x-a)^tdx=\dfrac{1}{t+1}(x-a)^{t+1}+C \:\:(t\neq -1)

→置換積分を用いずに積分速度を上げる公式

αβ(xα)(βx)dx=(βα)36\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x)dx=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}
(両辺マイナス1倍した以下の形で書かれることも多い:)
αβ(xα)(xβ)dx=(βα)36\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}

→放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

01xm(1x)ndx=m!n!(m+n+1)!\displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}

→ベータ関数の積分公式

f(ax+b)の積分

合成関数の微分公式からすぐに導ける公式たちです。覚えるほどではありません。

(ax+b)tdx=(ax+b)t+1a(t+1)+C(t1)\displaystyle\int (ax+b)^tdx=\dfrac{(ax+b)^{t+1}}{a(t+1)}+C\:(t\neq -1)

sin(ax+b)dx=cos(ax+b)a+C\displaystyle\int \sin(ax+b)dx=-\dfrac{\cos(ax+b)}{a}+C

cos(ax+b)dx=sin(ax+b)a+C\displaystyle\int\cos(ax+b)dx=\dfrac{\sin(ax+b)}{a}+C

eax+bdx=eax+ba+C\displaystyle\int e^{ax+b}dx=\dfrac{e^{ax+b}}{a}+C

発展的な三角関数の積分公式

ここから先は公式を丸覚えするというよりも導出方法をしっかり理解することが大事です。

1sinxdx=12log(1cosx1+cosx)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C

1cosxdx=12log(1+sinx1sinx)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C

1tanxdx=logsinx+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\tan x}dx=\log|\sin x|+C

→サイン分の1,コサイン分の1の積分の2通りの方法

eaxcosbxdx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C

eaxsinbxdx=eaxa2+b2(asinbxbcosbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C

→三角関数と指数関数の積の積分

nn が奇数のとき,

0π2sinnxdx=0π2cosnxdx=(n1)!!n!!\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx =\dfrac{(n-1)!!}{n!!}

nn が偶数のとき,

0π2sinnxdx=0π2cosnxdx=π2(n1)!!n!!\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}

→sinのn乗,cosのn乗の積分公式

tan2xdx=tanxx+C\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x+C

tannxdx=1n1tann1xtann2xdx\displaystyle\int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx

→タンジェントとそのn乗の不定積分

mmnn が異なる自然数のとき,

02πsinmxcosnxdx=002πsinmxcosmxdx=002πsinmxsinnxdx=002πcosmxcosnxdx=0\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos nxdx=0\\ \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos mxdx=0\\ \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\sin nxdx=0\\ \displaystyle\int_0^{2\pi} \cos mx\cos nxdx=0

→三角関数の積の積分と直交性

x2±a2x^2\pm a^2 にまつわる積分公式

dxx2+a2=log(x+x2+a2)+C\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})+C

x2+a2dx=12(xx2+a2+a2log(x+x2+a2))+C\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}dx\\=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))+C

→ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

1a2x2dx=Arcsinxa+C\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\mathrm{Arcsin} \dfrac{x}{a}+C

1x2+a2dx=1aArctanxa+C\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\mathrm{Arctan} \dfrac{x}{a}+C

→逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

1x2a2dx=12alogxax+a+C\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\log\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C

大学レベルの積分公式

a>0a > 0 のとき,

eax2dx=πa\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}

→ガウス積分の公式の2通りの証明

sinx2dx=cosx2dx=π2\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}

→フレネル積分

これらの公式に当てはめられない場合は,加えて置換積分or部分積分を使う必要があります。「この公式が足りない」などあればご一報下さい。