積分公式一覧

この節はすべて基本公式です。確実に覚えておきましょう。

$$\int x^a dx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C\:\:(a\neq -1)$$

$$\begin{aligned} \int\dfrac{1}{x}dx &= \log|x|+C\\ \int\sin xdx &= -\cos x+C\\ \int\cos xdx &= \sin x+C\\ \int\tan xdx &= -\log|\cos x|+C \end{aligned}$$ →タンジェントとそのn乗の不定積分

$$\int\log xdx=x\log x-x+C$$ →log xの積分計算の2通りの方法と発展形

$$\begin{aligned} \int e^xdx &= e^x+C\\ \int a^xdx &= \dfrac{a^x}{\log a}+C \end{aligned}$$ →指数関数(e^xとa^x)の積分と関連する公式

$$\begin{aligned} \int\dfrac{1}{\cos^2 x} dx &= \tan x+C\\ \int\dfrac{1}{\sin^2 x} dx &= -\dfrac{1}{\tan x}+C \end{aligned}$$

いずれも積分後の式を微分することで確かめられます。

すべて必須のテクニックです。詳細はリンク先で解説しています。

• 置換積分：
  $x=g(t)$ と置換すると， $$\int f(x)dx=\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$$ →置換積分の公式の証明と例題

• 置換積分の特殊形： $$\int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\log|f(x)|$$ 「微分したものが分子にあるなら積分できる」と覚えましょう。

• 部分積分： $$\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx$$ ただし，$f'$ は $f$ の微分，$G$ は $g$ の積分（$G'(x)=g(x)$）。
  →部分積分の公式と覚え方，例題

• King Property： $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$ →対称性を用いた定積分の計算（King Property）

この節の公式も大学入試で大活躍します。覚えておきましょう。

$$\int (x-a)^tdx=\dfrac{1}{t+1}(x-a)^{t+1}+C \:\:(t\neq -1)$$ →置換積分を用いずに積分速度を上げる公式

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(\beta-x)dx=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$$ (両辺マイナス1倍した以下の形で書かれることも多いです) $$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$$ →放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

$$\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$$ →ベータ関数の積分公式

この節は合成関数の微分公式からすぐに導ける公式たちです。すぐに導ければ覚える必要はありません。

$$\begin{aligned} \int (ax+b)^tdx&=\dfrac{(ax+b)^{t+1}}{a(t+1)}+C\:\: (t\neq -1)\\ \int \sin(ax+b)dx&=-\dfrac{\cos(ax+b)}{a}+C\\ \int\cos(ax+b)dx&=\dfrac{\sin(ax+b)}{a}+C\\ \int e^{ax+b}dx&=\dfrac{e^{ax+b}}{a}+C \end{aligned}$$

この節の公式を丸覚えするというよりも導出方法を理解することが大事です。

$$\begin{aligned} \int \dfrac{1}{\sin x}dx&=\dfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C\\ \int \dfrac{1}{\cos x}dx&=\dfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C\\ \int \dfrac{1}{\tan x}dx&=\log|\sin x|+C \end{aligned}$$ →1/sinx（サイン分の1）と1/cosx（コサイン分の1）の積分

$$\begin{aligned} \int e^{ax} \cos bxdx&=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\cos bx+b \sin bx)+C\\ \int e^{ax} \sin bxdx&=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\sin bx-b \cos bx)+C \end{aligned}$$ →三角関数と指数関数の積の積分

$n$ が奇数のとき，

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx =\dfrac{(n-1)!!}{n!!}$$

$n$ が偶数のとき，

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}$$ →ウォリス積分～sinのn乗，cosのn乗の積分公式

$$\begin{aligned} \int \tan^2 xdx&=\tan x-x+C\\ \int \tan^n xdx&=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx \end{aligned}$$ →タンジェントとそのn乗の不定積分

$m$ と $n$ が異なる自然数のとき，

$$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} \sin mx\cos nxdx&=0\\ \int_0^{2\pi} \sin mx\cos mxdx&=0\\ \int_0^{2\pi} \sin mx\sin nxdx&=0\\ \int_0^{2\pi} \cos mx\cos nxdx&=0 \end{aligned}$$ →三角関数の積の積分と直交性

また，三角関数の有理式は必ず積分できます。
→三角関数の有理式の積分

逆三角関数の積分

$$\begin{aligned} \int\mathrm{Arcsin}\:xdx&=x\mathrm{Arcsin}\:x+\sqrt{1-x^2}+C\\ \int\mathrm{Arccos}\:xdx&=x\mathrm{Arccos}\:x-\sqrt{1-x^2}+C\\ \int\mathrm{Arctan}\:xdx&=x\mathrm{Arctan}\:x-\dfrac{1}{2}\log(1+x^2)+C \end{aligned}$$ →逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

この節はかなり難しいです。覚える必要はありません。

$$\begin{aligned} &\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})+C\\ &\int \sqrt{x^2+a^2}dx\\ &=\dfrac{1}{2} (x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))+C \end{aligned}$$ →ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

$$\begin{aligned} \int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx&=\mathrm{Arcsin} \dfrac{x}{a}+C\\ \int\dfrac{1}{x^2+a^2}dx&=\dfrac{1}{a}\mathrm{Arctan} \dfrac{x}{a}+C \end{aligned}$$ →逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

$$\int\dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\log\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$$

$a > 0$ のとき， $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$$ →ガウス積分の公式の2通りの証明

$$\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$$ →フレネル積分

$$\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{\pi^4}{15}$$ →x^3/e^x-1の定積分