積分公式一覧

基本的な関数の積分公式

$\displaystyle\int x^adx=\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C\:\:(a\neq -1)$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x}dx=\log|x|+C$

$\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C$

$\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C$

$\displaystyle\int\tan xdx=-\log|\cos x|+C$

→タンジェントとそのn乗の不定積分

$\displaystyle\int\log xdx=x\log x-x+C$

→log xの積分計算の2通りの方法と発展形

$\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$

$\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos^2 x} dx =\tan x+C$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sin^2 x} dx =-\dfrac{1}{\tan x}+C$

一次式の積っぽい積分公式

$\displaystyle\int (x-a)^tdx=\dfrac{1}{t+1}(x-a)^{t+1}+C \:\:(t\neq -1)$

→置換積分を用いずに積分速度を上げる公式

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x)dx=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$
(両辺マイナス1倍した以下の形で書かれることも多い：)
$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$

→放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

$\displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$

→ベータ関数の積分公式

f(ax+b)の積分

合成関数の微分公式からすぐに導ける公式たちです。覚えるほどではありません。

$\displaystyle\int (ax+b)^tdx=\dfrac{(ax+b)^{t+1}}{a(t+1)}+C\:(t\neq -1)$

$\displaystyle\int \sin(ax+b)dx=-\dfrac{\cos(ax+b)}{a}+C$

$\displaystyle\int\cos(ax+b)dx=\dfrac{\sin(ax+b)}{a}+C$

$\displaystyle\int e^{ax+b}dx=\dfrac{e^{ax+b}}{a}+C$

発展的な三角関数の積分公式

ここから先は公式を丸覚えするというよりも導出方法をしっかり理解することが大事です。

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C$

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C$

$\displaystyle\int \dfrac{1}{\tan x}dx=\log|\sin x|+C$

→サイン分の1，コサイン分の1の積分の2通りの方法

$\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C$

→三角関数と指数関数の積の積分

$n$ が奇数のとき，

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx =\dfrac{(n-1)!!}{n!!}$

$n$ が偶数のとき，

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}$

→sinのn乗，cosのn乗の積分公式

$\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x+C$

$\displaystyle\int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx$

→タンジェントとそのn乗の不定積分

$m$ と $n$ が異なる自然数のとき，

$\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos nxdx=0\\ \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\cos mxdx=0\\ \displaystyle\int_0^{2\pi} \sin mx\sin nxdx=0\\ \displaystyle\int_0^{2\pi} \cos mx\cos nxdx=0$

→三角関数の積の積分と直交性

$x^2\pm a^2$ にまつわる積分公式

$\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$

$\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}dx\\=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))+C$

→ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

$\displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\mathrm{Arcsin} \dfrac{x}{a}+C$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{a}\mathrm{Arctan} \dfrac{x}{a}+C$

→逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質

$\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\log\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$

大学レベルの積分公式

$a > 0$ のとき，

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

→ガウス積分の公式の2通りの証明

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\sin x^2dx=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\cos x^2dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$

→フレネル積分