部分積分の公式と覚え方，例題

部分積分の公式 $\displaystyle\int fg=fG-\int f'G$ を使う。$x$ の微分は $1$，$\cos x$ の積分は $\sin x$なので，

$\displaystyle\int x\cos xdx\\ =x(\sin x)-\displaystyle\int 1\times \sin xdx$

第二項はサインの積分，つまり $-\cos x$ であるので結局
$\displaystyle\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C$

$f(x)=x+2$，$g(x)=\sin x$ として部分積分の公式を使う。$x+2$ の微分は $1$ で $\sin x$ の積分は $-\cos x$ なので，

$\displaystyle\int (x+2) \sin x dx \\ = (x+2)(-\cos x) - \displaystyle\int (x+2)'(-\cos x)dx \\ = -(x+2)\cos x + \displaystyle\int \cos x dx \\ =-(x+2)\cos x + \sin x + C$

$f(x)=4x^2, g(x)=e^{2x}$ とおいて部分積分の公式を使う。$f$ の微分は $8x$，$g$ の積分は $\dfrac{1}{2}e^{2x}$ なので，

$$\begin{aligned} & \int 4x^2 e^{2x} dx \\ &= 4x^2 \dfrac{1}{2}e^{2x} - \int 8x \dfrac{1}{2}e^{2x} dx\\ &= 2x^2 e^{2x} - \int 4xe^{2x} dx \end{aligned}$$

となる。第２項の積分を計算するために $f(x)=4x, g(x)=e^{2x}$ とおいて再び部分積分の公式を使うと，上式は

$$\begin{aligned} & 2x^2 e^{2x} - \left( 4x \dfrac{1}{2}e^{2x} - \int 4 \dfrac{1}{2}e^{2x} dx\right) \\ &= 2x^2 e^{2x} - 2x e^{2x} + e^{2x} + C \\ &= (2x^2 - 2x + 1) e^{2x} + C \end{aligned}$$

となる。

$f(x)=\log x, g(x)=4x+1$ とおいて部分積分すると，

$$\begin{aligned} & \int (4x + 1) \log x dx \\ &= (2x^2+x) \log x - \int (2x^2+x) \dfrac{1}{x} dx\\ &= (2x^2+x) \log x - \int (2x+1) dx \\ &= (2x^2+x) \log x - x^2 -x +C \end{aligned}$$ となる。

積の微分公式より

$$(f(x)g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$$

両辺を $x$ で積分すると

$\displaystyle\int (f(x)g(x))' dx \\= \displaystyle\int f'(x) g(x) dx + \int f(x) g'(x) dx$

積分の定義より，左辺は，$f(x)g(x)+C$（$C$ は積分定数）である。

これを移項すると，不定積分の場合の部分積分の公式を得る。

$$\int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) dx$$

$I = \displaystyle\int e^x \sin{x} dx$ とおく。

$I = \displaystyle\int e^x \sin{x} dx \\ = e^x \sin{x} - \displaystyle\int e^x (\sin{x})' dx \\ = e^x \sin{x} - \displaystyle\int e^x \cos{x} dx \\ = e^x \sin{x} - \displaystyle\int (e^x)' \cos{x} dx \\ = e^x \sin{x} - \left\{e^x \cos{x} - \displaystyle\int e^x (\cos{x})' dx\right\} \\ = e^x \sin{x} - e^x \cos{x} - \displaystyle\int e^x \sin{x} dx \\ = e^x \sin{x} - e^x \cos{x} - I$

したがって，これを $I$ について解くと，

$$I = \dfrac{1}{2} e^x (\sin{x} - \cos{x}) + C$$

ただし，$C$ は積分定数である。