部分積分の公式と覚え方，例題 | 高校数学の美しい物語

例題

部分積分

$\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx$

は，2つの関数 $f(x)$ , $g(x)$ の積 $f(x)g(x)$ を積分するための公式です。例を見てみましょう。

例題1

不定積分 $\displaystyle\int x\cos xdx$ を計算せよ。

$f(x)=x$ と $g(x)=\cos x$ の積の積分です。部分積分を使ってみましょう。

解答

部分積分の公式 $\displaystyle\int fg=fG-\int f'G$ を使う。 $x$ の微分は $1$ ， $\cos x$ の積分は $\sin x$ なので，

$\begin{aligned} &\int x\cos xdx\\ &=x(\sin x)-\displaystyle\int 1\times \sin xdx \end{aligned}$

部分積分

第二項はサインの積分，つまり $-\cos x$ であるので結局 $\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C$

部分積分のコツ

まずは，公式をしっかり覚えましょう。「そのまま積分引く微分積分」です。部分積分

微分して簡単になる関数に注目

部分積分のコツ1

「2つの関数の掛け算の積分」は部分積分を考えましょう。微分して簡単になる方を $f$ として部分積分します。

例題2（多項式と三角関数の積）

不定積分 $\displaystyle\int (x+2) \sin x dx$ を求めよ。

多項式 $x+2$ は微分すると簡単な関数 $1$ になります。一方， $\sin{x}$ や $\cos{x}$ は，微分しても簡単になりません。よって， $f(x)=x+2$ ， $g(x)=\sin x$ として部分積分です。

解答

$f(x)=x+2$ ， $g(x)=\sin x$ として部分積分の公式を使う。 $x+2$ の微分は $1$ で $\sin x$ の積分は $-\cos x$ なので，

$\begin{aligned} &\int (x+2) \sin x dx \\ &= (x+2)(-\cos x) - \displaystyle\int (x+2)'(-\cos x)dx \\ &= -(x+2)\cos x + \displaystyle\int \cos x dx \\ &=-(x+2)\cos x + \sin x + C \end{aligned}$

指数関数と多項式の積

次の例も同様です。微分して簡単になる関数を $f$ とします。

例題3（多項式と指数関数の積）

不定積分 $\displaystyle\int 4x^2 e^{2x} dx$ を求めよ。

$e^x$ は，何回微分しても $e^x$ のままです。したがって，多項式 $4x^2$ の側を微分します。ただし２回部分積分をする必要があります。

解答

$f(x)=4x^2, g(x)=e^{2x}$ とおいて部分積分の公式を使う。 $f$ の微分は $8x$ ， $g$ の積分は $\dfrac{1}{2}e^{2x}$ なので，

$\begin{aligned} & \int 4x^2 e^{2x} dx \\ &= 4x^2 \dfrac{1}{2}e^{2x} - \int 8x \dfrac{1}{2}e^{2x} dx\\ &= 2x^2 e^{2x} - \int 4xe^{2x} dx \end{aligned}$

となる。第２項の積分を計算するために $f(x)=4x, g(x)=e^{2x}$ とおいて再び部分積分の公式を使うと，上式は

$\begin{aligned} & 2x^2 e^{2x} - \left( 4x \dfrac{1}{2}e^{2x} - \int 4 \dfrac{1}{2}e^{2x} dx\right) \\ &= 2x^2 e^{2x} - 2x e^{2x} + e^{2x} + C \\ &= (2x^2 - 2x + 1) e^{2x} + C \end{aligned}$

となる。

このように部分積分を複数回する場合もあります。 複数回部分積分をするときに便利な方法として，瞬間部分積分があります。とくに難関大志望の受験生は瞬間部分積分も覚えておきましょう。

log(対数)を含む積分

部分積分のコツ2

$\log x$ を含む積分は部分積分を使うことが多い。 $\log x$ は $f$ （微分側）で部分積分する。

$\log x$ の微分は $\dfrac{1}{x}$ なので，多項式と $\log x$ が混ざっている場合は $\log x$ の方を微分するとうまくいきます。

例題4

不定積分 $\displaystyle\int (4x + 1) \log x dx$ を求めよ。

解答

$f(x)=\log x, g(x)=4x+1$ とおいて部分積分すると，

$\begin{aligned} & \int (4x + 1) \log x dx \\ &= (2x^2+x) \log x - \int (2x^2+x) \dfrac{1}{x} dx\\ &= (2x^2+x) \log x - \int (2x+1) dx \\ &= (2x^2+x) \log x - x^2 -x +C \end{aligned}$ となる。

例題と同様にすれば，対数関数 $\log x$ の積分もわかります。

演習問題

不定積分 $\displaystyle\int \log x dx$ を求めよ。

（解答は log xの積分計算の２通りの方法と発展形を参照。）

定積分の部分積分

ここまで紹介した部分積分の公式：
∫f(x)g(x)dx=f(x)G(x)−∫f′(x)G(x)dx
\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx
∫f(x)g(x)dx=f(x)G(x)−∫f′(x)G(x)dx
は不定積分についての公式でした。定積分についても同様の公式が成立します：

∫abf(x)g(x)dx=[f(x)G(x)]ab−∫abf′(x)G(x)dx
\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx=\left[f(x)G(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)G(x)dx
∫ab​f(x)g(x)dx=[f(x)G(x)]ab​−∫ab​f′(x)G(x)dx
定積分の場合も，「そのまま積分引く 微分積分」とおぼえましょう。

部分積分の公式の証明

部分積分の公式は一見難しそうですが，実は積の微分公式(→積の微分公式とその証明の味わい)の両辺を積分するだけで証明できます。

証明

積の微分公式より

$(f(x)g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$

両辺を $x$ で積分すると

$\begin{aligned} &\int (f(x)g(x))' dx \\ &= \int f'(x) g(x) dx + \int f(x) g'(x) dx \end{aligned}$

積分の定義より，左辺は， $f(x)g(x)+C$ （ $C$ は積分定数）である。

これを移項すると，不定積分の場合の部分積分の公式を得る。

$\int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) dx$

定積分の部分積分も全く同じようにして証明できます。

応用：三角関数と指数関数の積の積分

次は，部分積分の難しめの応用です。三角関数と指数関数の積の積分は，部分積分を2回して等式を作ることで計算します。

実際に例題を解いてみましょう。

例題5

$\displaystyle\int e^x \sin{x} dx$ を求めよ。

解答

$I = \displaystyle\int e^x \sin{x} dx$ とおく。

$\begin{aligned} I &= \int e^x \sin{x} dx \\ &= e^x \sin{x} - \int e^x (\sin{x})' dx \\ &= e^x \sin{x} - \int e^x \cos{x} dx \\ &= e^x \sin{x} - \int (e^x)' \cos{x} dx \\ &= e^x \sin{x} - \left\{e^x \cos{x} - \int e^x (\cos{x})' dx\right\} \\ &= e^x \sin{x} - e^x \cos{x} - \int e^x \sin{x} dx \\ &= e^x \sin{x} - e^x \cos{x} - I \end{aligned}$

したがって，これを $I$ について解くと，

$I = \dfrac{1}{2} e^x (\sin{x} - \cos{x}) + C$

ただし， $C$ は積分定数である。

より詳しい説明は，三角関数と指数関数の積の積分もどうぞ。

個人的には，超関数の微分の定義を示唆している式であるという点で好きです。

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