部分積分の公式と覚え方，例題

$f(x)=x+2, g(x)=-\cos x$ とおいて部分積分の公式を使うと，

$$\begin{aligned} & \int (x+2) \sin x dx \\ &= \int (x+2) (-\cos x)' dx \\ &= (x+2)(-\cos x) - \int (x+2)'(-\cos x)dx \\ &= -(x+2)\cos x + \int \cos x dx \\ &=-(x+2)\cos x + \sin x + C \end{aligned}$$ となる。

$f(x)=4x^2, g(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}$ とおいて部分積分の公式を使うと，

$$\begin{aligned} & \int 4x^2 e^{2x} dx \\ &= 4x^2 \dfrac{1}{2}e^{2x} - \int 8x \dfrac{1}{2}e^{2x} dx\\ &= 2x^2 e^{2x} - \int 4xe^{2x} dx \end{aligned}$$

となる。第２項の積分を計算するために $f(x)=4x, g(x)=\dfrac{1}{2}e^{2x}$ とおいて再び部分積分の公式を使うと，上式は

$$\begin{aligned} & 2x^2 e^{2x} - \left( 4x \dfrac{1}{2}e^{2x} - \int 4 \dfrac{1}{2}e^{2x} dx\right) \\ &= 2x^2 e^{2x} - 2x e^{2x} + e^{2x} + C \\ &= (2x^2 - 2x + 1) e^{2x} + C \end{aligned}$$

となる。

$f(x)=\log x, g(x)=2x^2+x$ とおいて部分積分すると，

$$\begin{aligned} & \int (4x + 1) \log x dx \\ &= (2x^2+x) \log x - \int (2x^2+x) \dfrac{1}{x} dx\\ &= (2x^2+x) \log x - \int (2x+1) dx \\ &= (2x^2+x) \log x - x^2 -x +C \end{aligned}$$ となる。