部分積分の公式と覚え方,例題

更新日時 2023/08/26
部分積分の公式

部分積分

ただし,ff'ff の微分GGgg の積分G(x)=g(x)G'(x)=g(x))。

部分積分についてわかりやすく解説します。部分積分の公式は一見複雑ですが,とても重要なので確実に理解しておきましょう。

例題

部分積分

f(x)g(x)dx=f(x)G(x)f(x)G(x)dx \int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx

は,2つの関数 f(x)f(x),g(x)g(x) の積 f(x)g(x)f(x)g(x) を積分するための公式です。例を見てみましょう。

例題1

不定積分 xcosxdx\displaystyle\int x\cos xdx を計算せよ。

f(x)=xf(x)=xg(x)=cosxg(x)=\cos x の積の積分です。部分積分を使ってみましょう。

解答

部分積分の公式 fg=fGfG\displaystyle\int fg=fG-\int f'G を使う。xx の微分は 11cosx\cos x の積分は sinx\sin xなので,

xcosxdx=x(sinx)1×sinxdx\begin{aligned} &\int x\cos xdx\\ &=x(\sin x)-\displaystyle\int 1\times \sin xdx \end{aligned}

部分積分

第二項はサインの積分,つまり cosx-\cos x であるので結局 xcosxdx=xsinx+cosx+C \int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C

部分積分のコツ

まずは,公式をしっかり覚えましょう。「そのまま積分引く微分積分」です。部分積分

微分して簡単になる関数に注目

部分積分のコツ1

「2つの関数の掛け算の積分」は部分積分を考えましょう。微分して簡単になる方を ff として部分積分します。

例題2(多項式と三角関数の積)

不定積分 (x+2)sinxdx\displaystyle\int (x+2) \sin x dx を求めよ。

多項式 x+2x+2 は微分すると簡単な関数 11 になります。一方,sinx\sin{x}cosx\cos{x} は,微分しても簡単になりません。よって,f(x)=x+2f(x)=x+2g(x)=sinxg(x)=\sin x として部分積分です。

解答

f(x)=x+2f(x)=x+2g(x)=sinxg(x)=\sin x として部分積分の公式を使う。x+2x+2 の微分は 11sinx\sin x の積分は cosx-\cos x なので,

(x+2)sinxdx=(x+2)(cosx)(x+2)(cosx)dx=(x+2)cosx+cosxdx=(x+2)cosx+sinx+C\begin{aligned} &\int (x+2) \sin x dx \\ &= (x+2)(-\cos x) - \displaystyle\int (x+2)'(-\cos x)dx \\ &= -(x+2)\cos x + \displaystyle\int \cos x dx \\ &=-(x+2)\cos x + \sin x + C \end{aligned}

指数関数と多項式の積

次の例も同様です。微分して簡単になる関数を ff とします。

例題3(多項式と指数関数の積)

不定積分 4x2e2xdx\displaystyle\int 4x^2 e^{2x} dx を求めよ。

exe^x は,何回微分しても exe^x のままです。したがって,多項式 4x24x^2 の側を微分します。ただし2回部分積分をする必要があります。

解答

f(x)=4x2,g(x)=e2xf(x)=4x^2, g(x)=e^{2x} とおいて部分積分の公式を使う。ff の微分は 8x8xgg の積分は 12e2x\dfrac{1}{2}e^{2x} なので,

4x2e2xdx=4x212e2x8x12e2xdx=2x2e2x4xe2xdx \begin{aligned} & \int 4x^2 e^{2x} dx \\ &= 4x^2 \dfrac{1}{2}e^{2x} - \int 8x \dfrac{1}{2}e^{2x} dx\\ &= 2x^2 e^{2x} - \int 4xe^{2x} dx \end{aligned}

となる。第2項の積分を計算するために f(x)=4x,g(x)=e2xf(x)=4x, g(x)=e^{2x} とおいて再び部分積分の公式を使うと,上式は

2x2e2x(4x12e2x412e2xdx)=2x2e2x2xe2x+e2x+C=(2x22x+1)e2x+C \begin{aligned} & 2x^2 e^{2x} - \left( 4x \dfrac{1}{2}e^{2x} - \int 4 \dfrac{1}{2}e^{2x} dx\right) \\ &= 2x^2 e^{2x} - 2x e^{2x} + e^{2x} + C \\ &= (2x^2 - 2x + 1) e^{2x} + C \end{aligned}

となる。

このように部分積分を複数回する場合もあります。 複数回部分積分をするときに便利な方法として,瞬間部分積分があります。とくに難関大志望の受験生は瞬間部分積分も覚えておきましょう。

log(対数)を含む積分

部分積分のコツ2

logx\log x を含む積分は部分積分を使うことが多い。logx\log xff(微分側)で部分積分する。

logx\log x の微分は 1x\dfrac{1}{x} なので,多項式と logx\log x が混ざっている場合は logx\log x の方を微分するとうまくいきます。

例題4

不定積分 (4x+1)logxdx\displaystyle\int (4x + 1) \log x dx を求めよ。

解答

f(x)=logx,g(x)=4x+1f(x)=\log x, g(x)=4x+1 とおいて部分積分すると,

(4x+1)logxdx=(2x2+x)logx(2x2+x)1xdx=(2x2+x)logx(2x+1)dx=(2x2+x)logxx2x+C \begin{aligned} & \int (4x + 1) \log x dx \\ &= (2x^2+x) \log x - \int (2x^2+x) \dfrac{1}{x} dx\\ &= (2x^2+x) \log x - \int (2x+1) dx \\ &= (2x^2+x) \log x - x^2 -x +C \end{aligned} となる。

例題と同様にすれば,対数関数 logx\log x の積分もわかります。

演習問題

不定積分 logxdx\displaystyle\int \log x dx を求めよ。

(解答は log xの積分計算の2通りの方法と発展形 を参照。)

定積分の部分積分

ここまで紹介した部分積分の公式:

f(x)g(x)dx=f(x)G(x)f(x)G(x)dx \int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx

不定積分についての公式でした。定積分についても同様の公式が成立します: abf(x)g(x)dx=[f(x)G(x)]ababf(x)G(x)dx \displaystyle\int_a^b f(x)g(x)dx=\left[f(x)G(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)G(x)dx 定積分の場合も,「そのまま積分引く 微分積分」とおぼえましょう。

部分積分の公式の証明

部分積分の公式は一見難しそうですが,実は積の微分公式(→積の微分公式とその証明の味わい)の両辺を積分するだけで証明できます。

証明

積の微分公式より

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x) (f(x)g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)

両辺を xx で積分すると

(f(x)g(x))dx=f(x)g(x)dx+f(x)g(x)dx\begin{aligned} &\int (f(x)g(x))' dx \\ &= \int f'(x) g(x) dx + \int f(x) g'(x) dx \end{aligned}

積分の定義より,左辺は,f(x)g(x)+Cf(x)g(x)+CCC は積分定数)である。

これを移項すると,不定積分の場合の部分積分の公式を得る。

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx \int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x) g(x) dx

定積分の部分積分も全く同じようにして証明できます。

応用:三角関数と指数関数の積の積分

次は,部分積分の難しめの応用です。三角関数と指数関数の積の積分は,部分積分を2回して等式を作ることで計算します。

実際に例題を解いてみましょう。

例題5

exsinxdx\displaystyle\int e^x \sin{x} dx を求めよ。

解答

I=exsinxdxI = \displaystyle\int e^x \sin{x} dx とおく。

I=exsinxdx=exsinxex(sinx)dx=exsinxexcosxdx=exsinx(ex)cosxdx=exsinx{excosxex(cosx)dx}=exsinxexcosxexsinxdx=exsinxexcosxI\begin{aligned} I &= \int e^x \sin{x} dx \\ &= e^x \sin{x} - \int e^x (\sin{x})' dx \\ &= e^x \sin{x} - \int e^x \cos{x} dx \\ &= e^x \sin{x} - \int (e^x)' \cos{x} dx \\ &= e^x \sin{x} - \left\{e^x \cos{x} - \int e^x (\cos{x})' dx\right\} \\ &= e^x \sin{x} - e^x \cos{x} - \int e^x \sin{x} dx \\ &= e^x \sin{x} - e^x \cos{x} - I \end{aligned}

したがって,これを II について解くと,

I=12ex(sinxcosx)+C I = \dfrac{1}{2} e^x (\sin{x} - \cos{x}) + C

ただし,CC は積分定数である。

より詳しい説明は,三角関数と指数関数の積の積分もどうぞ。

個人的には,超関数の微分の定義を示唆している式であるという点で好きです。

Tag:数学3の教科書に載っている公式の解説一覧