三角関数と指数関数の積の積分を一発で求める公式

三角関数と指数関数の積の積分は,部分積分を2回して求めるのが定石です。しかし,計算量も多くミスしやすいので,公式として覚えておくとスピードアップや検算に役立ちます:

eaxcosbx dx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\cos bx \ dx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C

eaxsinbx dx=eaxa2+b2(asinbxbcosbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\sin bx \ dx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C

公式の証明は3通りの方法があります。

  1. 定石どおり,左辺を2回部分積分して頑張って計算する
  2. 2つを連立して解く
  3. 右辺を微分して左辺になることを示す
  4. 複素指数関数を使う

この記事では,証明1,2,4を紹介します。

1.部分積分する方法

まずはオーソドックスな部分積分による計算を紹介します。(sinx)=sinx(\sin x)'' = - \sin x(cosx)=cosx(\cos x)'' = - \cos x ですから,2回部分積分をすると元の積分が現れることがポイントです。

証明

eaxcosbx dx=1aeaxcosbx+baeaxsinbx dx=1aeaxcosbx+ba2eaxsinbxb2a2eaxcosbx dx\begin{aligned} &\int e^{ax} \cos bx \ dx \\ &= \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \dfrac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx \ dx\\ &= \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \dfrac{b}{a^2} e^{ax} \sin bx - \dfrac{b^2}{a^2} \int e^{ax} \cos bx \ dx\\ \end{aligned}eaxcosbx dx\int e^{ax} \cos bx \ dx について解くと (1+b2a2)eaxcosbx dx=1a2(aeaxcosbx+beaxsinbx) \left( 1+\dfrac{b^2}{a^2} \right) \int e^{ax} \cos bx \ dx = \dfrac{1}{a^2} (a e^{ax} \cos bx + b e^{ax} \sin bx) つまり eaxcosbx dx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx) \int e^{ax}\cos bx \ dx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\cos bx+b \sin bx) となる。(積分定数は省略した)

sin\sin の積分も同様にできる。

2.連立する方法

先ほどの計算を見ればわかる通り,excosxe^x \cos x の積分に部分積分をすると exsinxe^x \sin x の積分が現れます。exsinxe^x \sin x についてはこの逆のことが起こります。こうして計算した2つの式を連立して計算してみます。

証明

I=eaxcosbx dxJ=eaxsinbx dx I = \int e^{ax} \cos bx \ dx \\ J = \int e^{ax} \sin bx \ dx とおく。

I=eaxcosbx dx=1aeaxcosbx+baeaxsinbx dx=1aeaxcosbx+baJ\begin{aligned} I &= \int e^{ax} \cos bx \ dx \\ &= \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \dfrac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx \ dx\\ &= \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \dfrac{b}{a} J \end{aligned} 同様に計算すると J=1aeaxsinbxbaI J = \dfrac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \dfrac{b}{a} I である。連立方程式 {IbaJ=1aeaxcosbxbaI+J=1aeaxsinbx \begin{cases} I - \dfrac{b}{a} J = \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx\\ \dfrac{b}{a} I + J = \dfrac{1}{a} e^{ax} \sin bx \end{cases} を解くと I=eaxcosbx dx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx)J=eaxsinbx dx=eaxa2+b2(asinbxbcosbx)\begin{aligned} I &= \int e^{ax}\cos bx \ dx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\cos bx+b \sin bx)\\ J &= \int e^{ax}\sin bx \ dx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\sin bx-b \cos bx) \end{aligned} を得る。

3.右辺の微分を確認する証明

不定積分の意味に立ち戻って計算をする方法です。

証明

ddxeax(acosbx+bsinbx)=aeax(acosbx+bsinbx)+eax(absinbx+b2cosbx)=eax(a2cosbx+absinbxabsinbx+b2cosbx)=(a2+b2)eaxcosbx\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx} e^{ax} (a\cos bx + b \sin bx)\\ &= ae^{ax} (a\cos bx + b \sin bx) + e^{ax} (-ab \sin bx + b^2 \cos bx)\\ &= e^{ax} (a^2 \cos bx + ab \sin bx - ab \sin bx + b^2 \cos bx)\\ &= (a^2+b^2) e^{ax} \cos bx \end{aligned} である。よって, eaxcosbx dx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx) \int e^{ax} \cos bx \ dx = \dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \cos bx + b \sin bx) (積分定数は省略)である。

4.複素指数関数を用いた証明

具体的には,三角関数と指数関数を統一的に議論するための道具であるオイラーの公式と複素指数関数を用いて2つの公式を同時に示します。

証明

オイラーの公式から以下の式が成立する:

e(ax+bxi)dx=eaxcosbxdx+ieaxsinbxdx() \int e^{(ax+bxi)}dx= \int e^{ax}\cos bxdx+i\int e^{ax}\sin bxdx\cdots(*)

実部と虚部にそれぞれ公式の左辺が出現していることに注意。

一方,複素指数関数の積分公式から,

e(ax+bxi)dx=e(ax+bxi)a+bi+C \int e^{(ax+bxi)}dx=\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}+C

この右辺第一項にオイラーの公式を用い,分母分子に abia-bi をかける:

e(ax+bxi)a+bi=eax(abi)(cosbx+isinbx)a2+b2=eaxa2+b2{(acosbx+bsinbx)+i(asinbxbcosbx)}\begin{aligned} &\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}\\ &=\dfrac{e^{ax} (a-bi)(\cos bx +i\sin bx)}{a^2+b^2}\\ &=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}\{(a\cos bx +b\sin bx)+i(a\sin bx-b \cos bx)\} \end{aligned}

上式と ()(*) の実部と虚部をそれぞれ比較すると求める公式を得る。

→高校数学の問題集 ~最短で得点力を上げるために~のT34も参照してください。

あまり覚えたくない複雑な公式ですが,受験生時代は検算に使えるので覚えていました。

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