三角関数と指数関数の積の積分を一発で求める公式

$$\begin{aligned} &\int e^{ax} \cos bx \ dx \\ &= \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \dfrac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx \ dx\\ &= \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \dfrac{b}{a^2} e^{ax} \sin bx - \dfrac{b^2}{a^2} \int e^{ax} \cos bx \ dx\\ \end{aligned}$$ を $\int e^{ax} \cos bx \ dx$ について解くと $$\left( 1+\dfrac{b^2}{a^2} \right) \int e^{ax} \cos bx \ dx = \dfrac{1}{a^2} (a e^{ax} \cos bx + b e^{ax} \sin bx)$$ つまり $$\int e^{ax}\cos bx \ dx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\cos bx+b \sin bx)$$ となる。（積分定数は省略した）

$\sin$ の積分も同様にできる。

$$I = \int e^{ax} \cos bx \ dx \\ J = \int e^{ax} \sin bx \ dx$$ とおく。

$$\begin{aligned} I &= \int e^{ax} \cos bx \ dx \\ &= \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \dfrac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx \ dx\\ &= \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx + \dfrac{b}{a} J \end{aligned}$$ 同様に計算すると $$J = \dfrac{1}{a} e^{ax} \sin bx - \dfrac{b}{a} I$$ である。連立方程式 $$\begin{cases} I - \dfrac{b}{a} J = \dfrac{1}{a} e^{ax} \cos bx\\ \dfrac{b}{a} I + J = \dfrac{1}{a} e^{ax} \sin bx \end{cases}$$ を解くと $$\begin{aligned} I &= \int e^{ax}\cos bx \ dx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\cos bx+b \sin bx)\\ J &= \int e^{ax}\sin bx \ dx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a\sin bx-b \cos bx) \end{aligned}$$ を得る。

$$\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx} e^{ax} (a\cos bx + b \sin bx)\\ &= ae^{ax} (a\cos bx + b \sin bx) + e^{ax} (-ab \sin bx + b^2 \cos bx)\\ &= e^{ax} (a^2 \cos bx + ab \sin bx - ab \sin bx + b^2 \cos bx)\\ &= (a^2+b^2) e^{ax} \cos bx \end{aligned}$$ である。よって， $$\int e^{ax} \cos bx \ dx = \dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$$ （積分定数は省略）である。

オイラーの公式から以下の式が成立する：

$$\int e^{(ax+bxi)}dx= \int e^{ax}\cos bxdx+i\int e^{ax}\sin bxdx\cdots(*)$$

実部と虚部にそれぞれ公式の左辺が出現していることに注意。

一方，複素指数関数の積分公式から，

$$\int e^{(ax+bxi)}dx=\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}+C$$

この右辺第一項にオイラーの公式を用い，分母分子に $a-bi$ をかける：

$$\begin{aligned} &\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}\\ &=\dfrac{e^{ax} (a-bi)(\cos bx +i\sin bx)}{a^2+b^2}\\ &=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}\{(a\cos bx +b\sin bx)+i(a\sin bx-b \cos bx)\} \end{aligned}$$

上式と $(*)$ の実部と虚部をそれぞれ比較すると求める公式を得る。