三角関数と指数関数の積の積分を一発で求める公式

更新日時 2021/03/07

三角関数と指数関数の積の積分は，部分積分を2回して求めるのが定石です。しかし，計算量も多くミスしやすいので，公式として覚えておくとスピードアップや検算に役立ちます：

$\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C$

公式の証明は3通りの方法があります。

定石どおり，左辺を2回部分積分して頑張って計算する
右辺を微分して左辺になることを示す
複素指数関数を使う

この記事では，証明3を紹介します。具体的には，三角関数と指数関数を統一的に議論するための道具である複素指数関数とオイラーの公式を用いて2つの公式を同時に示します。

複素指数関数を用いた証明

複素指数関数を用いた証明

証明

オイラーの公式から以下の式が成立する：

$\displaystyle\int e^{(ax+bxi)}dx=\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx+i\int e^{ax}\sin bxdx\cdots(*)$

実部と虚部にそれぞれ公式の左辺が出現していることに注意。

一方，複素指数関数の積分公式から，

$\displaystyle\int e^{(ax+bxi)}dx=\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}+C$

この右辺第一項にオイラーの公式を用い，分母分子に $a-bi$ をかける：

$\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}\\ =\dfrac{e^{ax}(a-bi)(\cos bx +i\sin bx)}{a^2+b^2}\\ =\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}\{(a\cos bx +b\sin bx)+i(a\sin bx-b \cos bx)\}$

上式と $(*)$ の実部と虚部をそれぞれ比較すると求める公式を得る。

あまり覚えたくない複雑な公式ですが，受験生時代は検算に使えるので覚えていました。

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この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！