三角関数と指数関数の積の積分を一発で求める公式

更新日時 2021/03/07

三角関数と指数関数の積の積分は，部分積分を2回して求めるのが定石です。しかし，計算量も多くミスしやすいので，公式として覚えておくとスピードアップや検算に役立ちます：

$\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C$

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C$

公式の証明は3通りの方法があります。

定石どおり，左辺を2回部分積分して頑張って計算する
右辺を微分して左辺になることを示す
複素指数関数を使う

この記事では，証明3を紹介します。具体的には，三角関数と指数関数を統一的に議論するための道具であるオイラーの公式と複素指数関数を用いて2つの公式を同時に示します。

複素指数関数を用いた証明

複素指数関数を用いた証明

証明

オイラーの公式から以下の式が成立する：

$\displaystyle\int e^{(ax+bxi)}dx=\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx+i\int e^{ax}\sin bxdx\cdots(*)$

実部と虚部にそれぞれ公式の左辺が出現していることに注意。

一方，複素指数関数の積分公式から，

$\displaystyle\int e^{(ax+bxi)}dx=\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}+C$

この右辺第一項にオイラーの公式を用い，分母分子に $a-bi$ をかける：

$\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}\\ =\dfrac{e^{ax}(a-bi)(\cos bx +i\sin bx)}{a^2+b^2}\\ =\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}\{(a\cos bx +b\sin bx)+i(a\sin bx-b \cos bx)\}$

上式と $(*)$ の実部と虚部をそれぞれ比較すると求める公式を得る。

あまり覚えたくない複雑な公式ですが，受験生時代は検算に使えるので覚えていました。

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この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！