三角関数と指数関数の積の積分を一発で求める公式

オイラーの公式から以下の式が成立する：

$\displaystyle\int e^{(ax+bxi)}dx=\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx+i\int e^{ax}\sin bxdx\cdots(*)$

実部と虚部にそれぞれ公式の左辺が出現していることに注意。

一方，複素指数関数の積分公式から，

$\displaystyle\int e^{(ax+bxi)}dx=\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}+C$

この右辺第一項にオイラーの公式を用い，分母分子に $a-bi$ をかける：

$\dfrac{e^{(ax+bxi)}}{a+bi}\\ =\dfrac{e^{ax}(a-bi)(\cos bx +i\sin bx)}{a^2+b^2}\\ =\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}\{(a\cos bx +b\sin bx)+i(a\sin bx-b \cos bx)\}$

上式と $(*)$ の実部と虚部をそれぞれ比較すると求める公式を得る。