シンプソンの公式の証明と例題

シンプソンの公式

f(x)f(x) が3次以下の関数のとき,

abf(x)dx=(ba)6{f(a)+4f(a+b2)+f(b)}\displaystyle\int_a^bf(x)dx\\=\dfrac{(b-a)}{6}\{f(a)+4f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f(b)\}

3次関数の定積分を素早く計算(検算)できます!

シンプソンの公式の応用例

シンプソンの公式は,3次以下の関数の定積分の計算に使える便利な公式です。

例題

13(x3+2x23x)dx\displaystyle\int_1^3(x^3+2x^2-3x)dx の値を求めよ。

解答

被積分関数を f(x)f(x) とおくと,シンプソンの公式より

13f(x)dx=26{f(1)+4f(2)+f(3)}\displaystyle\int_1^3f(x)dx=\dfrac{2}{6}\{f(1)+4f\left(2\right)+f(3)\}

ここで,

  • f(1)=0f(1)=0
  • f(2)=8+86=10f(2)=8+8-6=10
  • f(3)=27+189=36f(3)=27+18-9=36

より,求める値は,

26(0+40+36)=763\dfrac{2}{6}(0+40+36)=\dfrac{76}{3}

この例題をシンプソンの公式を使わずに愚直に計算すると,めんどうな分数計算が必要です。

シンプソンの公式は,面積や体積を求めるときにも使えます。面積や体積の計算に3次関数の定積分がしばしば出現するためです。

シンプソンの公式の意味

シンプソンの公式

abf(x)dx=(ba)6{f(a)+4f(a+b2)+f(b)}\displaystyle\int_a^bf(x)dx\\=\dfrac{(b-a)}{6}\{f(a)+4f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f(b)\}

は,見た目は複雑ですが意味は単純です。

  • 定積分=面積=幅×平均の高さ
  • 幅は (ba)(b-a)
  • 平均の高さを 16{f(a)+4f(a+b2)+f(b)}\dfrac{1}{6}\{f(a)+4f(\dfrac{a+b}{2})+f(b)\} と見積もる

という発想です。平均の高さを,区間の端だけでなく真ん中も使って見積もるのが面白いです。重みが 1:4:1 なのは,そうするとうまくいくからです(後ほどきちんと証明します)。

シンプソンの公式は「1:4:1の重み付き平均で面積を概算したもの」と覚えればよいのです。

ちなみに,平均の高さを「平均の高さ f(a)+f(b)2\fallingdotseq\dfrac{f(a)+f(b)}{2}」と見積もると台形近似公式になります。

シンプソンの公式の証明

証明は素直に計算するだけなので簡単です。

証明の概略

f(x)=Ax3+Bx2+Cx+Df(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D とおいて頑張って計算すると,

左辺の6倍は,

6A4(b4a4)+6B3(b3a3)+6C2(b2a2)+6D(ba)6\cdot\dfrac{A}{4}(b^4-a^4)+6\cdot\dfrac{B}{3}(b^3-a^3)\\ +6\cdot\dfrac{C}{2}(b^2-a^2)+6D(b-a)

右辺の6倍は,

(ba){A(a3+b3)+B(a2+b2)+C(a+b)+2D+4A(a+b2)3+4B(a+b2)2+4C(a+b2)+4D}(b-a)\{A(a^3+b^3)+B(a^2+b^2)+C(a+b)+2D\\ +4A(\dfrac{a+b}{2})^3+4B(\dfrac{a+b}{2})^2+4C(\dfrac{a+b}{2})+4D\}

これらは等しい!(A,B,C,DA,B,C,D の係数を比較すればわりと簡単に確認できる)

もう一つシンプソンの公式の導出方法を紹介します。これは3次関数の場合のきちんとした証明にはなっていませんが,シンプソンの公式を拡張する際に使える重要な考え方です。

別の導出方法の概略

任意の関数 f(x)f(x) に対して定積分 abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx の値を概算したい。

そこで,x=a,a+b2,bx=a, \dfrac{a+b}{2}, bf(x)f(x) と同じ値を取る2次関数 g(x)g(x)ラグランジュの補間公式により求める。 つまり,f(x)f(x) に似ていて f(x)f(x) よりも扱いやすい関数 g(x)g(x) を持ってきてそちらを使う。

この g(x)g(x) を積分してやるとシンプソンの公式の右辺が出てくる。

f(x)f(x) が2次関数のときは当然 f(x)=g(x)f(x)=g(x) なのでシンプソンの公式は成立するわけだが,実は f(x)f(x) が3次関数のときも積分値は一致する。

シンプソンの公式は応用上は3次関数の計算というよりも,数値積分(コンピュータ上で難しい関数の定積分の値を計算する)という分野で活躍する公式です。

Tag:積分を用いた面積,体積の求積公式まとめ