シンプソンの公式の証明と例題

被積分関数を $f(x)$ とおくと，シンプソンの公式より

$\displaystyle\int_1^3f(x)dx=\dfrac{2}{6}\{f(1)+4f\left(2\right)+f(3)\}$

ここで，

• $f(1)=0$
• $f(2)=8+8-6=10$
• $f(3)=27+18-9=36$

より，求める値は，

$\dfrac{2}{6}(0+40+36)=\dfrac{76}{3}$

$f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D$ とおいて頑張って計算すると，

左辺の6倍は，

$6\cdot\dfrac{A}{4}(b^4-a^4)+6\cdot\dfrac{B}{3}(b^3-a^3)\\ +6\cdot\dfrac{C}{2}(b^2-a^2)+6D(b-a)$

右辺の6倍は，

$(b-a)\{A(a^3+b^3)+B(a^2+b^2)+C(a+b)+2D\\ +4A(\dfrac{a+b}{2})^3+4B(\dfrac{a+b}{2})^2+4C(\dfrac{a+b}{2})+4D\}$

これらは等しい！（$A,B,C,D$ の係数を比較すればわりと簡単に確認できる）

任意の関数 $f(x)$ に対して定積分 $\displaystyle\int_a^bf(x)dx$ の値を概算したい。

そこで，$x=a, \dfrac{a+b}{2}, b$ で $f(x)$ と同じ値を取る2次関数 $g(x)$ をラグランジュの補間公式により求める。 つまり，$f(x)$ に似ていて $f(x)$ よりも扱いやすい関数 $g(x)$ を持ってきてそちらを使う。

この $g(x)$ を積分してやるとシンプソンの公式の右辺が出てくる。

$f(x)$ が2次関数のときは当然 $f(x)=g(x)$ なのでシンプソンの公式は成立するわけだが，実は $f(x)$ が3次関数のときも積分値は一致する。