分数関数の極値を求める２つのテクニック

$h(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$ を微分して $h'(x)=0$ の解を求めると $x=-1\pm\sqrt{2}$ となる。

$h(-1\pm\sqrt{2})$ を直接計算するのはめんどうだが，$h(x)$ の分母分子をそれぞれ微分して $\dfrac{1}{2x}$ とした上で $x=-1\pm\sqrt{2}$ を代入すると計算が楽。

$h(x)=\dfrac{x+1}{x^2+1}$

$x=-1$ のとき $h(x)=0$，

$x\neq -1$ のとき，

$\dfrac{1}{h(x)}=\dfrac{x^2+1}{x+1}\\ =x-1+\dfrac{2}{x+1}\\ =x+1+\dfrac{2}{x+1}-2$

よって，$x > -1$ のとき相加相乗平均の不等式より $\dfrac{1}{h(x)}\geq 2\sqrt{2}-2$ （等号成立条件は $x=-1+\sqrt{2}$ ）

つまり，$h(x)$ は $x=-1+\sqrt{2}$ で極大値 $\dfrac{1}{2\sqrt{2}-2}$ を取ることが分かる。

また，$x <-1$ のときも同様に $\dfrac{1}{h(x)}\leq -2\sqrt{2}-2$

つまり，$h(x)$ は $x=-1-\sqrt{2}$ で極小値 $\dfrac{1}{-2\sqrt{2}-2}$ を取ることが分かる。