デカルトの葉線の漸近線と面積

更新 2021/03/07

デカルトの葉線

$xy$ 平面上において $x^3+y^3-3axy=0$

で表される曲線をデカルトの葉線と言う。

デカルトの正葉線，デカルトの葉とも言います。

媒介変数表示，極座標表示

デカルトの葉線は以下のように表現することもできます。
媒介変数表示：x=3at1+t3x=\dfrac{3at}{1+t^3}x=1+t33at​，y=3at21+t3y=\dfrac{3at^2}{1+t^3}y=1+t33at2​
極座標表示：r=3asin⁡θcos⁡θsin⁡3θ+cos⁡3θr=\dfrac{3a\sin\theta\cos\theta}{\sin^3\theta+\cos^3\theta}r=sin3θ+cos3θ3asinθcosθ​
これらが全て同じ曲線を表すことは簡単な計算で確認できます。

グラフ，漸近線

デカルトの葉線のグラフ

デカルトの葉線のグラフは図の青い曲線になります。

グラフは $y=x$ に関して対称です。 $(x,y)$ が $x^3+y^3-3axy=0$ を満たすなら， $(y,x)$ も満たすことから分かります。

また， $y=-x-a$ を漸近線に持ちます。

漸近線の導出

$x^3+y^3-3axy=0$ を因数分解公式（因数分解の公式とテクニック一覧の後半の紫文字の公式）を用いて変形すると，

$(x+y+a)(x^2+y^2+a^2-xy-ya-ax)=a^3$

$(x+y+a)\{(x-y)^2+(y-a)^2+(a-x)^2\}=2a^3$

$a$ は定数であり， $|x|$ を大きくしていくと，左辺の2つめの因数はどんどん大きくなる。一方，右辺は一定である。よって，左辺の1つめの因数は $0$ に近づく必要がある。

つまり， $|x|$ が十分大きいとき $x+y+a\fallingdotseq 0$

面積

デカルトの葉線で囲まれた領域の面積は， $S=\dfrac{3}{2}a^2$ である。

極方程式の面積公式を用いて計算します。積分計算の方法は読者の方に教えてもらいました，感謝！

証明

極座標表示を用いる。

$S=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}r^2d\theta\\ =\dfrac{9}{2}a^2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2\theta\cos^2\theta}{(\sin^3\theta+\cos^3\theta)^2}d\theta\\ =\dfrac{9}{2}a^2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\tan^2\theta}{(\tan^3\theta+1)^2}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$

ここで， $\tan\theta=t$ とおくと，

$S=\dfrac{9}{2}a^2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{t^2}{(t^3+1)^2}dt\\ =\dfrac{9}{2}a^2\left[-\dfrac{1}{3(t^3+1)}\right]_0^{\infty}\\ =\dfrac{3}{2}a^2$