ガウス積分の公式の2通りの証明

更新日時 2021/03/07

ガウス積分はとても有名な定積分の公式です。正規分布の計算などで活躍します。

ガウス積分

ガウス積分とは,以下のような定積分のことです。

pic01

ただし,この記事では a>0a>0 とします。

ガウス積分の公式一覧・応用を述べたあと,ガウス積分の証明を2通り紹介します。

目次
  • ガウス積分にまつわる公式

  • ガウス積分の応用

  • ガウス積分の証明

  • 残りの公式の証明

ガウス積分にまつわる公式

まずは,ガウス積分に関連する公式の一覧です。

ガウス積分の関連公式[-∞,∞]
  1. eax2dx=πa\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}
  2. xeax2dx=0\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ax^2}dx=0
  3. x2eax2dx=12πa3\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a^3}}
  4. x3eax2dx=0\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^3e^{-ax^2}dx=0
  5. x4eax2dx=34πa5\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^4e^{-ax^2}dx=\dfrac{3}{4}\sqrt{\dfrac{\pi}{a^5}}
  6. eax2+bx+cdx=e(b24a+c)πa\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx+c}dx=e^{\left(\frac{b^2}{4a}+c\right)}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}
ガウス積分の関連公式[0,∞]
  1. 0eax2dx=12πa\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}
  2. 0xeax2dx=12a\displaystyle\int_{0}^{\infty}xe^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2a}
  3. 0x2eax2dx=14πa3\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{\pi}{a^3}}
  4. 0x3eax2dx=12a2\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^3e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2a^2}
  5. 0x4eax2dx=38πa5\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^4e^{-ax^2}dx=\dfrac{3}{8}\sqrt{\dfrac{\pi}{a^5}}
  • 不定積分 xneax2dx\displaystyle\int x^ne^{-ax^2}dx は初等関数で表せませんが,[,][-\infty,\infty][0,][0,\infty] の定積分は計算できるというのがおもしろいです。

  • n=0,1,2,3,4n=0,1,2,3,4 の場合のみ書きましたが,n5n\geqq 5 でも計算できます。

  • ガウス積分を手っ取り早く計算・検算したい人は,wolframalpha がおすすめです。例えば \int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-3x^2+4x+5}dx と入力すると x2e3x2+4x+5dx\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-3x^2+4x+5}dx を計算できます。

ガウス積分の応用

  • ガウス積分の応用の代表例は,正規分布(ガウス分布)についてのいろいろな計算です。ガウス積分について知っていれば,ガウス分布の確率密度関数:
    f(x)=12πσexp{(xμ)22σ2}f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left\{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}
    の理解が深まります。→正規分布の基礎的なこと

  • ガウス分布の分散の計算に公式3が活躍します。

  • レイリー分布 の期待値の計算にもガウス積分が活躍します。

ガウス積分の証明

  • 公式1:eax2dx=πa\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} の証明が少し大変です。

  • 公式1さえ証明できれば公式2~公式11の証明は簡単です(後述します)。

  • 公式1の証明を2通り紹介します。ガンマ関数を用いる方法と,重積分を用いる方法です。

ガンマ関数を用いる証明

ガウス積分は,ほぼ高校数学の範囲内で証明できます。

ただし(高校生でも頑張れば理解できるが少し難しい)前提知識として「ガンマ関数とベータ関数の関係」を使います。

参考:ベータ関数の積分公式の下の方を参照してください。

方針

階乗の一般化であるガンマ関数 Γ(x)=0tx1etdt\Gamma(x)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt を利用します。ガンマ関数は直接計算できないので,ベータ関数に変換してから置換積分で計算します。

証明

ガンマ関数の定義より Γ(12)=0ettdt\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}}dt

であり,t=ax2t=ax^2 と置換すると,

Γ(12)=0eax2ax2axdx=2a0eax2dx=aI\begin{aligned} \Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right) &= \int_0^{\infty}\dfrac{e^{-ax^2}}{\sqrt{a}x}2axdx\\ &=2\sqrt{a} \int_0^{\infty}e^{-ax^2}dx\\ &=\sqrt{a}I \end{aligned}

一方,ガンマ関数とベータ関数の関係より,

Γ(12)2=Γ(1)β(12,12)=01dxx(1x) \Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\Gamma(1)\beta\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)= \int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}

ここで x=sin2θx=\sin^2\theta と置換すると,

dxdθ=2sinθcosθ\dfrac{dx}{d\theta}=2\sin\theta\cos\theta より,

01dxx(1x)=0π22sinθcosθsinθcosθdθ=π \int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}= \int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}d\theta=\pi

以上より,

I=1aΓ(12)=πa\begin{aligned} I&=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\\ &=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} \end{aligned}

※積分区間が有限でないのでガウス積分は広義積分です。そのため,厳密には高校数学範囲外です。

重積分を用いる証明

次は重積分を用いる方法です。表記は少しゴツイですが,内容は単純です。

方針

π\pi を出現させるために極座標を用います。極座標が使える形にするために最初にあえて二乗します。

証明

ガウス積分の値を II とおく。

I2=eax2dxeay2dy=eax2ay2dxdy\begin{aligned} I^2 &= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2-ay^2}dxdy \end{aligned}

ここで x=rcosθ,y=rsinθx=r\cos\theta,y=r\sin\theta と置換すると,ヤコビアンは rr なので,

I2=002πear2rdθdr=2π0ear2rdr=2π[ear22a]0=πa\begin{aligned} I^2 &= \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-ar^2}rd\theta dr\\ &= 2\pi \int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr\\ &= 2\pi\left[\dfrac{e^{-ar^2}}{-2a}\right]_0^{\infty}\\ &= \dfrac{\pi}{a} \end{aligned}

よって,I=πaI=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}

補足:

  • 最初の部分で AB=AB\displaystyle\int A\int B=\displaystyle\int\int AB とできることを用いました。(フビニの定理)これは,シグマの二重和が分解できることの一般形です。シグマ計算を機械的に行うための3つの公式の最後の部分。

  • 重積分の変数変換,ヤコビアンに関しては厳密には大学内容が必要です。→ヤコビ行列,ヤコビアンの定義と極座標の例

  • 平面上において rr から r+drr+dr の間にある部分の面積が 2πrdr2\pi rdr と近似できることと関係しています。全平面上で積分する際に rr を固定して θ\theta で積分し,最後に rr で積分します。 gauss

残りの公式の証明

公式1:eax2dx=πa\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} さえ証明できれば公式2~公式11の証明は簡単です。 関連する公式の証明

公式2,4の証明

奇関数の積分なので,
xeax2dx=0\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-ax^2}dx=0
x3eax2dx=0\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^3e^{-ax^2}dx=0

※偶関数と奇関数の積分の性質については,→偶関数と奇関数の意味,性質などまとめ

公式3,5の証明

部分積分を使うと,

xneax2dx=[xn+1n+1eax2]+2an+1xn+2eax2dx\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ax^2}dx\\ &=\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}e^{-ax^2}\right]_{-\infty}^{\infty}+ \int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{2a}{n+1}x^{n+2}e^{-ax^2}dx \end{aligned}

よって, xn+2eax2dx=n+12axneax2dx \int_{-\infty}^{\infty}x^{n+2}e^{-ax^2}dx=\dfrac{n+1}{2a} \int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-ax^2}dx

  • n=0n=0 として公式1を使うと公式3を得る: x2eax2dx=12πa3 \int_{-\infty}^{\infty}x^2e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a^3}}
  • さらに n=2n=2 として公式3を使うと公式5を得る: x4eax2dx=34πa5 \int_{-\infty}^{\infty}x^4e^{-ax^2}dx=\dfrac{3}{4}\sqrt{\dfrac{\pi}{a^5}}

公式6の証明は少し特殊です。指数の中身の二次関数を平方完成します。

公式6の証明

eax2+bx+cdx=ea(xb2a)2+b24a+cdx=eb24a+cea(xb2a)2dx\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx+c}dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-\frac{b}{2a})^2+\frac{b^2}{4a}+c}dx\\ &= e^{\frac{b^2}{4a}+c} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x-\frac{b}{2a})^2}dx \end{aligned}

ここで,xb2a=yx-\dfrac{b}{2a}=y と置換して公式1を使うと,上式は

eb24a+cey2dy=eb24a+cπa\begin{aligned} &e^{\frac{b^2}{4a}+c} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-y^2}dy\\ &=e^{\frac{b^2}{4a}+c}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} \end{aligned} となる。

公式7,9,11の証明

偶関数の性質と公式1より,

0eax2dx=12eax2dx=12πa \int_0^{\infty}e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}

同様に公式3から公式9が導ける。公式5から公式11が導ける。

公式8の証明

普通に原始関数が求まるパターンです:

0xeax2dx=[eax22a]0=12a\begin{aligned} &\int_{0}^{\infty}xe^{-ax^2}dx\\ &=\left[\dfrac{-e^{-ax^2}}{2a}\right]_{0}^{\infty}\\ &=\dfrac{1}{2a} \end{aligned}

公式10の証明

公式3の証明と同様に,部分積分すると以下を導ける: 0xn+2eax2dx=n+12a0xneax2dx\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{n+2}e^{-ax^2}dx=\dfrac{n+1}{2a}\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax^2}dx n=1n=1 として公式8を使うと公式10を得る。

置換積分のオンパレードでしたね。ちなみに,多変数のガウス積分の公式もあります: →多変数のガウス積分

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