ガウス積分の公式の２通りの証明

ガウス積分の値を $I$ とおく。

$I^2=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ay^2}dy\\ =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2-ay^2}dxdy$

ここで $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$ と置換すると，ヤコビアンは $r$ なので，

$I^2=\displaystyle\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-ar^2}rd\theta dr\\ =2\pi\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-ar^2}rdr\\ =2\pi\left[\dfrac{e^{-ar^2}}{-2a}\right]_0^{\infty}\\ =\dfrac{\pi}{a}$

よって，$I=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$

ガンマ関数の定義より $\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}}dt$

であり，$t=ax^2$ と置換すると，

$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{e^{-ax^2}}{\sqrt{a}x}2axdx\\ =2\sqrt{a}\int_0^{\infty}e^{-ax^2}dx\\ =\sqrt{a}I$

一方，ガンマ関数とベータ関数の関係より，

$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\Gamma(1)\beta\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$

ここで $x=\sin^2\theta$ と置換すると，

$\dfrac{dx}{d\theta}=2\sin\theta\cos\theta$ より，

$\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=\displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}d\theta=\pi$

以上より，

$I=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)\\ =\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$