ヤコビ行列，ヤコビアンの定義と極座標の例

状況設定

• $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^{\top}$ を決めると $\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,\dots,y_m)^{\top}$ が定まる状況（$n$ 変数関数が $m$ 個あると考えてもよい，$n$ 変数の $m$ 次元ベクトル値関数と考えてもよい）
• 各 $y_i$ は $x_j$ で偏微分可能

ヤコビ行列の定義

$\dfrac{\partial y_i}{\partial x_j}$ を $ij$ 成分とする $m\times n$ 行列 $J$ をヤコビ行列と言います。

例えば $m=n=2$ のとき，ヤコビ行列は $J=\begin{pmatrix}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}&\frac{\partial y_1}{\partial x_2}\\\frac{\partial y_2}{\partial x_1}&\frac{\partial y_2}{\partial x_2}\end{pmatrix}$ です。

ヤコビアンの定義

$m=n$ のとき，ヤコビ行列は正方行列になります。

そのもとで，ヤコビ行列の行列式をヤコビ行列式，またはヤコビアンと言います。ヤコビアンは変換の「拡大率」を表す重要な量です。ヤコビアン（の絶対値）は重積分の変数変換公式に現れます。

一変数の場合，微分係数は関数の一次近似（の接線の傾き）という意味がありました（一次近似の意味とよく使う近似公式一覧）： $$y(x)\fallingdotseq y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)$$ 多変数の場合，接線の傾きに相当するのがヤコビ行列です： $$\overrightarrow{y}(\overrightarrow{x})\fallingdotseq\overrightarrow{y}(\overrightarrow{x_0})+J(\overrightarrow{x_0})(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0})$$ 以下では，ヤコビ行列の計算に慣れるために例を2つ解説します。

例1．二次元極座標

二次元極座標 $(r,\theta)$ から直交座標 $(x,y)$ への変数変換を考えます。二変数関数2つ組なのでヤコビ行列のサイズは2×2です。

変換式は $x=r\cos\theta,\:y=r\sin\theta$ です。変換式をそれぞれ偏微分するとヤコビ行列が求まります：

$$\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix}$$

ヤコビアンは， $$\cos\theta(r\cos\theta)-\sin\theta(-r\sin\theta)=r$$ です。

なお，重積分の変数変換の文脈では $dxdy=rdrd\theta$ と表記することもあります。

例2．三次元極座標

三次元極座標 $(r,\theta,\phi)$ から直交座標 $(x,y,z)$ への変数変換を考えます。三変数関数3つ組なのでヤコビ行列のサイズは3×3です。→三次元極座標についての基本的な知識

変換式は $$x=r\sin\theta\cos\phi,\:y=r\sin\theta\sin\phi,\:z=r\cos\theta$$ です。変換式をそれぞれ偏微分するとヤコビ行列が求まります：

$\begin{pmatrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial \theta}&\frac{\partial x}{\partial \phi}\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial \theta}&\frac{\partial y}{\partial \phi}\\\frac{\partial z}{\partial r}&\frac{\partial z}{\partial \theta}&\frac{\partial z}{\partial \phi}\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\phi&r\cos\theta\cos\phi&-r\sin\theta\sin\phi\\\sin\theta\sin\phi&r\cos\theta\sin\phi&r\sin\theta\cos\phi\\\cos\theta&-r\sin\theta&0\end{pmatrix}$

ヤコビアンは（3×3の行列式を頑張って計算すると） $r^2\sin\theta$ となります。

重積分の変数変換の文脈では $$dxdydz=r^2\sin\theta drd\theta d\phi$$ と表記することもあります。