三次元極座標についての基本的な知識

二次元極座標は原点からの距離 $r$ と偏角 $\theta$ で点の位置を表現する方法でした。

三次元極座標は原点からの距離 $r$ と，2つの角度パラメータ $\theta,\phi$ で点 $P$ の位置を表現する方法です。

• $\theta$ は $z$ 軸の正の向きと $OP$ のなす角です。範囲は $0\leq \theta\leq \pi$ です。「緯度」っぽいです。
• $\phi$ は $x$ 軸の正の向きと $OQ$（$Q$ は $P$ から $xy$ 平面に下ろした垂線の足）のなす角です。範囲は $-\pi< \phi \leq \pi$ です。「経度」っぽいです（範囲を $0\leq \phi< 2\pi$ で考えることもあります）。

$(r,\theta,\phi)$ を1つ決めると点が1つ定まります。

点 $P$ が三次元直交座標で $(x,y,z)$，三次元極座標で $(r,\theta,\phi)$ と表現されるとき，以下が成立します：

• $x=r\sin\theta\cos\phi$
• $y=r\sin\theta\sin\phi$
• $z=r\cos\theta$

上の図を見て確認してください。これはよく使うので覚えてもよいでしょう。ちなみに，逆変換は

• $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
• $\theta=\mathrm{Arccos}\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
• $\phi=\mathrm{sgn}(y)\mathrm{Arccos}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

です。覚える必要はありません。

※ $\mathrm{sgn}$ は符号関数です。→シグモイド関数の意味と簡単な性質

体積の拡大率（ヤコビアン）が $r^2\sin\theta$ であることは覚えておきましょう。

直交座標における体積積分と極座標における体積積分の変換式です。