同値関係といろいろな例

更新 2022/11/19

数学の様々な場面で登場する重要な概念「同値関係」について解説します。同値関係とは，大雑把には「仲間であるという関係」です。前半は定義なので少し堅苦しいですが，後半はいろいろな例が登場します！

二項関係とは

同値関係についてきちんと定義するために，まずは二項関係について解説します。
集合
AAA
 上の二項関係とは，AAA
 の要素を2つ並べたものをいくつか集めた集合です。例えば
A={1,2,3}A=\{1,2,3\}A={1,2,3}
 に対して，{(1,2),(2,1),(3,1),(3,3)}\{(1,2),(2,1),(3,1),(3,3)\}{(1,2),(2,1),(3,1),(3,3)}
 は二項関係です。
(a,b)(a,b)(a,b)
 が考えている二項関係に属するとき，a∼ba\sim ba∼b
 と書くことにします。上の例では
1∼21\sim 21∼2，2∼12\sim 12∼1，3∼13\sim 13∼1，3∼33\sim 33∼3
 です。

同値関係とは

同値関係とは，以下の3つを満たす二項関係 ~ のことです。
反射律：a∼aa\sim aa∼a
対称律：a∼ba\sim ba∼b ならば b∼ab\sim ab∼a
推移律：a∼ba\sim ba∼b かつ b∼cb\sim cb∼c ならば a∼ca\sim ca∼c
1つめはさておき，2つめと3つめは「仲間であるという関係」を表していると理解できます（aaa
 が
bbb
 の仲間なら
bbb
 は
aaa
 の仲間，aaa
 と
bbb
 が仲間で
bbb
 と
ccc
 が仲間なら
aaa
 と
ccc
は仲間）。

              なぜ同値関係を考えるのか
            
「＝」は左辺と右辺が（数値・集合として）完全に一致するときに用いられます。これはしばしば条件として「厳しい」場合があります。
例えば，C1C_1C1​ を中心が (0,0)(0,0)(0,0) で半径が 111 の円，C2C_2C2​ を中心が (1,1)(1,1)(1,1) で半径が 111 の円としましょう。これらは位置の意味では異なりますが，合同です。
「同じ」であることをもっと幅広く考えたい……そのために同値関係があります。いわば同値関係は 「＝」の一般化 と考えられます。

同値関係のいろいろな例

例題1（整数論）

$A$ を整数全体の集合， $n$ を正の整数とする。 $a,b\in A$ に対して

$a\sim b\iff a-b$ が $n$ の倍数

とするとき $\sim$ は同値関係であることを証明せよ。

$n$ で割った余りによって整数をグループ分けするという考え方です。→合同式

解答

反射律： $a-a=0$ は $n$ の倍数

対称律： $a-b$ が $n$ の倍数なら $b-a$ も $n$ の倍数

推移律： $a-b,b-c$ が $n$ の倍数なら，その和 $a-c$ も $n$ の倍数

このように，同値関係であることの確認は簡単なことが多いです。以下，例題の解答は省略します。

例題2（図形）

$A$ を三角形全体の集合とする。 $a,b\in A$ に対して

$a\sim b \iff a$ と $b$ は合同

とするとき $\sim$ は同値関係であることを確認せよ。

例題3（グラフ理論）

$A$ を有向グラフ $G$ の頂点集合とする。 $a,b\in A$ に対して

$a\sim b \iff$ 頂点 $a$ から $b$ に道があり， $b$ から $a$ にも道がある

とするとき $\sim$ は同値関係であることを確認せよ。

この同値関係による頂点のグループ分けをグラフの強連結成分分解と言います。→強連結成分分解の意味とアルゴリズム

例題4（線形代数）

$M_n$ を $n\times n$ 行列全体の集合とする。 $A,B\in M_n$ に対して

$A\sim B \iff$ ある正則行列 $P$ が存在して $B=P^{-1}AP$

とするとき $\sim$ は同値関係であることを確認せよ。

なお，例題4の意味で $A\sim B$ のとき，行列 $A$ と $B$ は相似であると言います。→行列の対角化の意味と具体的な計算方法

例題5（幾何・線形代数）

$\mathbb{R}^3 \backslash \{ \mathrm{O} \}$ を $xyz$ 平面から原点を除いたものとする。

$(x,y,z) , (x' , y' , z') \in \mathbb{R}^3 \backslash \{ \mathrm{O} \}$ に対して

$(x,y,z) \sim (x' , y' , z') \iff$ ある $0$ でない実数 $k$ があって， $x = kx'$ ， $y = ky'$ ， $z = kz'$

とするとき， $\sim$ は同値関係であることを確認せよ。

この同値関係により，幾何的に極めて重要な概念である射影平面が定義されます。

同値類・商集合

もとの集合を「同値な仲間ごと」にグループわけした各グループを同値類と言います。
例えば，上記の例題1の同値関係でグループわけすると「 $n$ の倍数のグループ」「 $n$ で割ったあまりが $1$ のグループ」…のようにグループが $n$ 個できます。もとの集合（整数全体の集合）から同値類が $n$ 個できました。
$x$ が属する同値類のことを $[x]$ や $\bar{x}$ などと書きます。
同値類全体の集合を商集合と言います。もとの集合 $S$ を同値関係 $\sim$ でグループわけしたときの商集合を $S /\! \sim$ と書きます。
上記の例題1の場合， $S /\! \sim=\{[0],[1],[2],...,[n-1]\}$ となります。

「友達」は同値関係ではありません。 $a$ は $b$ を友達だと思っていても $b$ は $a$ のことを友達だと思っていないかもしれません。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！