ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルム

n次元ベクトルとは

$n$ 次元ベクトルは（この記事では）実数を $n$ 個並べたものだと考えて下さい。

高校数学で習う2次元ベクトル（平面ベクトル），3次元ベクトル（空間ベクトル）の一般化です。

ノルムとは

ノルムとはいろいろなものの「大きさ」を表す量です。より正確に言うと（実数上のベクトル空間 $V$ に対しては）任意の $x,y\in V$ と任意の実数 $a$ に対して以下の3つの性質を満たす関数 $\|*\|$ のことです。

• $\|\overrightarrow{x}\|=0\iff \overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$
• $\|a\overrightarrow{x}\|=|a|\|\overrightarrow{x}\|$
• $\|\overrightarrow{x}\|+\|\overrightarrow{y}\|\geqq \|\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\|$

$L^p$ ノルムは代表的なノルムです。実際， $\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}$ が上の3つの性質を満たすことが確認できます（3つ目については ミンコフスキーの不等式とその証明）。

$p=2$ の場合，$p=1$ の場合

• $L^2$ ノルム： $\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$
  高校数学でも扱う「普通の意味での長さ」です。ユークリッドノルムとも言います。

• $L^1$ ノルム： $|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|$
  各成分の絶対値の和です。 $L^1$ ノルムを「大きさ」として扱うと便利なこともけっこうあります→L1距離（マンハッタン距離）の意味と性質

$p$ が非常に大きい場合

$p$ が非常に大きい場合を考えてみます。$x_i\:(1\leqq i\leqq n)$ の中で最も絶対値が大きいものの１つを $x_k$ とします。すると $p$ が十分大きいとき，

$\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}\fallingdotseq |x_k|$

となります。

そこで，$L^{\infty}$ ノルムを，絶対値最大の成分の絶対値と定義します。無限大ノルム，supノルムなどとも言います。

単位円，単位球

二次元ベクトルに対して $\|\overrightarrow{x}\|_p=1$ であるような領域（単位円）を図示しました。

$p$ を $1$ から徐々に増やしていくにつれて単位円はふくらんでいきます。これは $n\geqq 3$ でも同様です。

ちなみに，$0< p < 1$ の場合にも $\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}$ を考えることはできますが，ノルムにはなりません（三角不等式を満たさない）。単位円はへこみます。