L1距離（マンハッタン距離）の意味と性質

2点間の遠さを定量的に表現するのが距離です。我々が普段よく使うのは以下の $L^2$ 距離（ユークリッド距離）です：

$$d(A,B)=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2}$$

しかし，場合によっては $L^1$ 距離を用いたほうがよい場合があります。例えば，座標軸に平行にしか移動できない場合，$L^1$ 距離で測るのが適切です。

実際，碁盤の目状の都市（アメリカのマンハッタン，日本だと平城京など）の2点間の最短距離は $L^1$ 距離で表現できます（マンハッタン距離と呼ばれる理由！）。

当然ですが，ユークリッド距離よりもマンハッタン距離の方が長くなっています。

$L^1$ 距離は一般の「距離」が満たすべき以下の性質（距離の公理）を満たしています：

1. $d(A,B)\geq 0$ 　また，$d(A,B)=0\iff A=B$

2. $d(A,B)=d(B,A)$

3. $d(A,B)+d(B,C)\geq d(A,C)$ （三角不等式）

（証明は練習問題にどうぞ）

また，原点から $L^1$ 距離が $1$ であるような点の集合（単位球）は図のような正方形になります。

三次元以上の空間においても，$L^1$ 距離を同様に定義できます：

$$d(A,B) = \sum_{i=1}^n|a_i-b_i|$$

$L^1$ 距離に関する東大の問題を紹介します。

1994年東大理系第6問の(1)です（文言は少し変えています）。

「垂直二等分線」が二次元の広がりを持つというのは驚きですね。

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