代数学の基本定理とその初等的な証明

複素数 $x$ に対して関数

$f(x)=|a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0|$

（複素数の絶対値）を考える。

$x$ の絶対値が十分大きい時には $a_nx^n$ が支配的で，$f(x)$ はいくらでも大きくなる。

よって，ある大きな実数 $R$ が存在して $|x| > R$ なら $f(x) > f(0)$

よって，最小値を与える $x_c$ が $|x| \leq R$ 内にあるとしてよい（注1）。

$f(x_c)\neq 0$ と仮定すると $x$ を $x_c$ から少し動かすことで $f(x)$ をより小さくできるので矛盾（注2）。

つまり $f(x_c)=0$ である。よって因数定理より，もとの方程式は $x=x_c$ を解に持ち，

$(x-x_c)p(x)=0$ (ただし $p(x)$ は $n-1$ 次式)

と因数分解できる。帰納法の仮定より $p(x)=0$ は解を $n-1$ 個持つので代数学の基本定理が示された。

$f(x_c+\epsilon)-f(x_c) < 0$ となるような $\epsilon$ の存在を示せばよい。

$f(x_c+\epsilon)-f(x_c)\\ =|A_0+A_1\epsilon+A_2\epsilon^2+\cdots +A_n\epsilon^n|-|A_0|$

ここで，$A_0, A_1,\cdots ,A_n$ は $f(x_c+\epsilon)$ を展開して $\epsilon$ について整理したときの係数。

また，$|A_0|=f(x_c)\neq 0$

ここで $A_1, A_2,\cdots ,A_n$ のうち $0$ でない最初のものを $A_k$ とおく。

$f(x_c+\epsilon)-f(x_c)=|A_0+A_k\epsilon^k+\epsilon$ の高次の項 $|-|A_0|$

となる。$\epsilon$ の絶対値が十分小さいとき $\epsilon$ の高次の項は無視できそう。

そこで，$t$ をとある小さな正の実数として，$A_k\epsilon^k=-t^kA_0$ となるような $\epsilon$ を持ってくる。

具体的には，$\epsilon=t\sqrt[k]{-\dfrac{A_0}{A_k}}$ とおく。

（$k$ 乗して $z$ になる複素数は一般に $k$ 個あるが，どれでもよい。それを $\sqrt[k]{z}$ と表した。）

すると，このように定めた $\epsilon$ に対して

$f(x_c+\epsilon)-f(x_c)=|A_0(1-t^k)+F(t)|-|A_0|$

となる。ただし，$F(t)$ は $t$ の $k$ 乗より高次の項。

これは $t$ を十分小さな実数とすれば負になる。