最大値・最小値の定理

最大値の定理・最小値の定理

有界閉区間 [a,b][a,b] 上の連続関数 ff は,最大値・最小値を取る。

最大値・最小値の定理は ロルの定理 の証明など,微分積分の様々なところに顔を出します。

この記事では,最大値・最小値の定理の証明を味わっていきます。

証明のステップ

最大値を取ることさえ示せば,f-f を考えることで最小値を取ることも従います。そこで,最大値だけ示します。

次のような3つのステップで,最大値を取ることの証明をします。

  1. ff[a,b][a,b] 上で有界であることを示す。
  2. {f(cn)}\{f(c_n)\}ff上限に収束するような数列 {cn}\{c_n\} (cn[a,b])(c_n \in [a,b]) を取る。
  3. その上限が最大値であることを示す。

準備

証明の前に,証明で使う定理・命題を紹介します。

数列の極限と閉集合の関係

命題

極限 limncn=c\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = c となる数列 {cn}\{c_n\} を取る。

任意の nn に対して cn[a,b]c_n \in [a,b] であるとき,c[a,b]c \in [a,b] である。

一見当たり前ですが,実は非自明です。

命題のミソは,数列が閉区間に含まれることです。実際 [a,b][a,b] の部分が開区間 (a,b)(a,b) になると,命題は成立しません。

n1n \geqq 1 として an=12na_n = \dfrac{1}{2^n} とおく。

an>0a_n > 0an12<1a_n \leqq \dfrac{1}{2} < 1 より,各 nn に対して an(0,1)a_n \in (0,1) となる。

一方 limnan=0(0,1)\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \notin (0,1) である。

それでは証明です。イプシロンエヌ論法 のよい練習問題です。

証明

c[a,b]c \notin [a,b] と仮定する。c>bc > b を考える(c<ac < a の場合も同様)。

このとき cb>0c - b > 0 となる。ε=cb\varepsilon = c-b とおくと,ある自然数 NN があって n>Nn > N ならば cnc<ε|c_n-c| < \varepsilon となる。

不等式を変形すると cε<cn<c+ε c - \varepsilon < c_n < c + \varepsilon となるため cn>cε>c(cb)=b\begin{aligned} c_n &> c - \varepsilon\\ &> c - (c-b)\\ &= b \end{aligned} となる。よって cn>bc_n > b となって条件 cn[a,b]c_n \in [a,b] に反する。

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

実数列 {an}\{ a_n \} が有界であるとき,{an}\{ a_n \} は収束する部分列を持つ

証明は以下の記事を見てください。
→ ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

ステップ1

ステップ1で ff の有界性を示します。有界ではないと仮定すると,ff はいくらでも大きな値を取ります。その事実を数列に落とし込みましょう。

証明

ff が有界でないと仮定する。

このとき任意の自然数 nn に対して f(pn)>nf(p_n) > n となる pn[a,b]p_n \in [a,b] が存在する。

こうして得られた数列 {pn}\{p_n\} に対して,ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理 を適用することで,収束する部分列 {pni}\{p_{n_i}\} を取ることができる。このときの収束値を pp とすると,各 pnip_{n_i} は閉集合 [a,b][a,b] に含まれるため,p[a,b]p \in [a,b] となる。

ff の連続性より f(p)=f(limipni)=limif(pni)=\begin{aligned} f(p) &= f \left( \lim_{i \to \infty} p_{n_i} \right)\\ &= \lim_{i \to \infty} f(p_{n_i})\\ &= \infty \end{aligned} である。しかしこれは ffpp で不連続であることを意味し,条件に反する。よって ff は有界である。

閉区間の仮定を外した反例

f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}(0,1)(0,1) で連続ですが,有界になりません。

ステップ2

ステップ2の証明に移ります。有界とは何か~上界・上限と下界・下限 で紹介した上限を使います。

「上限」の定義の復習

MMAA 上の関数 ff の上限である」とは,MMf(A)f(A) の上限であることを表す。つまり,以下の2つを満たすことと同値:

  1. 任意の xAx \in A に対して Mf(x)M \geqq f(x)
  2. ε>0\varepsilon > 0 を任意に取ったとき,ある xAx \in A があって Mf(x)<εM - f(x) < \varepsilon となる。
証明

ff の上限を MM とおく。

上限の性質1から f(cn)Mf(c_n) \leqq M である。

上限の性質2から 1n\dfrac{1}{n} を取ったとき,Mf(cn)<1nM - f(c_n) < \dfrac{1}{n} となる cnc_n を取ることができる。

こうして不等式 M1n<f(cn)M M - \dfrac{1}{n} < f(c_n) \leqq M を得る。はさみうちの原理から limnf(cn)=M\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(c_n) = M となる。

ステップ3

ここで再びボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を用いましょう。

証明

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理から {cn}\{c_n\} は収束する部分列を持つ。これを {cni}\{c_{n_i}\} とおき,収束値を cc とおく。

{f(cni)}\{f(c_{n_i})\}{f(cn)}\{f(c_n)\} の部分列であるため limnf(cn)=limif(cni)=M \lim_{n \to \infty} f(c_n) = \lim_{i \to \infty} f(c_{n_i}) = M である。ff の連続性から limif(cni)=f(limicni)=f(c) \lim_{i \to \infty} f(c_{n_i}) = f \left( \lim_{i \to \infty} c_{n_i} \right) = f(c) である。よって f(c)=Mf(c) = M となる。

cni[a,b]c_{n_i} \in [a,b] より c[a,b]c \in [a,b] である。

よって [a,b][a,b] の元 ccff は最大値 MM を取る。

展望

まったく同じ論理によって次の定理が示されます。

最大値・最小値の定理 二次元版

DDR2\mathbb{R}^2 の有界閉集合として ffDD 上の実数値連続関数とする。

このとき ff は最大値・最小値を取る。

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の記事で コンパクト集合 を紹介しました。最大値・最小値の定理に登場する閉区間 [a,b][a,b] や 有界閉集合 DD はコンパクト集合の例です。

実は,次のような一般化があります。

最大値・最小値の定理(一般化)

コンパクト集合から R\mathbb{R} への連続関数は最大値・最小値を取る。

詳しくは集合・位相の教科書を参照してみてください。

若干長い証明でしたが,各ステップはシンプルで美しいものでしたね。