最大値・最小値の定理 | 高校数学の美しい物語

証明のステップ

最大値を取ることさえ示せば，−f-f−f を考えることで最小値を取ることも従います。
次のような3つのステップで，最大値を取ることの証明をします。
fff が [a,b][a,b][a,b] 上で有界であることを示す。
{f(cn)}\{f(c_n)\}{f(cn​)} が fff の上限に収束するような数列 {cn}\{c_n\}{cn​} (cn∈[a,b])(c_n \in [a,b])(cn​∈[a,b]) を取る。
その上限が最大値であることを示す。

準備

証明の前に，証明で使う定理・命題を紹介します。

数列の極限と閉集合の関係

命題

極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = c$ となる数列 $\{c_n\}$ を取る。

任意の $n$ に対して $c_n \in [a,b]$ であるとき， $c \in [a,b]$ である。

当たり前のように思えるかもしれませんが，実は非自明な命題です。

命題のミソは，数列が閉区間に含まれることです。実際 $[a,b]$ の部分が開区間 $(a,b)$ になると，命題は成立しません。

例

$n \geqq 1$ として $a_n = \dfrac{1}{2^n}$ とおく。

$a_n > 0$ ， $a_n \leqq \dfrac{1}{2} < 1$ より，各 $n$ に対して $a_n \in (0,1)$ となる。

一方 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \notin (0,1)$ である。

それでは証明を見てみましょう。イプシロンエヌ論法の良い練習問題になっています。

証明

$c \notin [a,b]$ と仮定する。 $c > b$ を考える（ $c < a$ の場合も同様）。

このとき $c - b > 0$ となる。 $\varepsilon = c-b$ とおくと， $\varepsilon$ - $N$ 論法から，ある自然数 $N$ があって $n > N$ ならば $|a_n-c| < \varepsilon$ となる。

不等式を変形すると $c - \varepsilon < c_n < c + \varepsilon$ となるため $\begin{aligned} c_n &> c - \varepsilon\\ &> c - (c-b)\\ &= b \end{aligned}$ となる。よって $c_n > b$ となって条件 $c_n \in [a,b]$ に反する。

ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理

実数列 $\{ a_n \}$ が有界であるとき， $\{ a_n \}$ は収束する部分列を持つ。

証明は以下の記事をチェックしてください。
→ ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理

ステップ1

ステップ1で $f$ の有界性を示します。有界ではないと仮定すると， $f$ はいくらでも大きな値を取ります。その事実を数列に落とし込みましょう。

証明

$f$ が有界でないと仮定する。

このとき任意の自然数 $n$ に対して $f(p_n) > n$ となる $p_n \in [a,b]$ が存在する。

こうして得られた数列 $\{p_n\}$ に対して，ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を適用することで，収束する部分列 $\{p_{n_i}\}$ を取ることができる。このときの収束値を $p$ とすると，各 $p_{n_i}$ は閉集合 $[a,b]$ に含まれるため， $p \in [a,b]$ となる。

$f$ の連続性より $\begin{aligned} f(p) &= f \left( \lim_{i \to \infty} p_{n_i} \right)\\ &= \lim_{i \to \infty} f(p_{n_i})\\ &= \infty \end{aligned}$ である。しかしこれは $f$ が $p$ で不連続であることを意味し，条件に反する。よって $f$ は有界である。

閉区間の仮定を外した反例

$f(x) = \dfrac{1}{x}$ は $(0,1)$ で連続ですが，有界になりません。

ステップ2

ステップ2の証明に移ります。有界とは何か～上界・上限と下界・下限で紹介した上限を使います。

「 $M$ が $A$ 上の関数 $f$ の上限である」とは， $M$ が $f(A)$ の上限であることを表す。
つまり，「 $M$ が $A$ 上の関数 $f$ の上限である」ことは，以下の2つを満たすことと同値：
1. 任意の $x \in A$ に対して $M \geqq f(x)$
2. $\varepsilon > 0$ を任意に取ったとき，ある $x \in A$ があって $M - f(x) < \varepsilon$ となる。

証明

$f$ の上限を $M$ とおく。

上限の性質1から $f(c_n) \leqq M$ である。

上限の性質2から $\dfrac{1}{n}$ を取ったとき， $M - f(c_n) < \dfrac{1}{n}$ となる $c_n$ を取ることができる。

こうして不等式 $M - \dfrac{1}{n} < f(c_n) \leqq M$ を得る。はさみうちの原理から $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(c_n) = M$ となる。

ステップ3

ここで再びボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を用いましょう。

証明

ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理から $\{c_n\}$ は収束する部分列を持つ。これを $\{c_{n_i}\}$ とおき，収束値を $c$ とおく。

$\{f(c_{n_i})\}$ は $\{f(c_n)\}$ の部分列であるため $\lim_{n \to \infty} f(c_n) = \lim_{i \to \infty} f(c_{n_i}) = M$ である。 $f$ の連続性から $\lim_{i \to \infty} f(c_{n_i}) = f \left( \lim_{i \to \infty} c_{n_i} \right) = f(c)$ である。よって $f(c) = M$ となる。

$c_{n_i} \in [a,b]$ より $c \in [a,b]$ である。

よって $[a,b]$ の元 $c$ で $f$ は最大値 $M$ を取る。

展望

まったく同じ論理によって次の定理が示されます。

最大値・最小値の定理二次元版

$D$ を $\mathbb{R}^2$ の有界閉集合として $f$ を $D$ 上の実数値連続関数とする。

このとき $f$ は最大値・最小値を取る。

ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理の記事で コンパクト集合 を紹介しました。最大値・最小値の定理に登場する閉区間 $[a,b]$ や有界閉集合 $D$ はコンパクト集合の例です。

実は，次のような一般化があります。

最大値・最小値の定理（一般化）

コンパクト集合から $\mathbb{R}$ への連続関数は最大値・最小値を取る。

詳しくは集合・位相の教科書を参照してみてください。

若干長い証明でしたが，各ステップはシンプルで美しいものでしたね。